Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em [1,5] e tenha as propriedades dadas.
Mínimo absoluto em 3, máximo absoluto em 4, máximo local em 2.

Passo 1

Enunciado resumido: precisamos de uma função contínua em [1,5] que tenha um mínimo absoluto em x=3, um máximo absoluto em x=4 e ainda um ponto de máximo local em x=2. O assunto aqui é estudo de extremos (máximos e mínimos) em funções contínuas.

Passo 2

Definições teóricas: mínimo absoluto em x₀ significa que f(x₀) é o menor valor de f em todo o intervalo; máximo absoluto em x₀ significa que f(x₀) é o maior valor de f em todo o intervalo; máximo local em x₀ significa que existe um entorno de x₀ em que f(x₀) é maior que todos os valores vizinhos.

Passo 3

Estratégia de esboço: basta escolher alguns pontos-chave cujos valores satisfaçam as condições de extremos e depois ligar esses pontos de modo contínuo (por exemplo, com segmentos de reta).

Passo 4

Construção de um exemplo simples: escolhemos
f(1)=1
f(2)=2 (aqui será nosso máximo local porque 2>1 e 2>f(3))
f(3)=0 (mínimo absoluto, pois é o valor mais baixo de todos)
f(4)=3 (máximo absoluto, pois é o valor mais alto de todos)
f(5)=1
Depois, ligamos os pontos (1,1) (2,2) (3,0) (4,3) (5,1) por retas, garantindo continuidade.

Passo 5

Verificação das propriedades: em torno de x=2, f(2)=2 é maior que f(1) e f(3), logo máximo local. Em todo [1,5], o menor valor é f(3)=0, logo mínimo absoluto em x=3, e o maior é f(4)=3, logo máximo absoluto em x=4.

Resposta

Um esboço possível liga por segmentos os pontos (1,1)→(2,2)→(3,0)→(4,3)→(5,1). O gráfico sobe de x=1 até o pico local em x=2, cai até o ponto mais baixo em x=3, sobe novamente até o valor máximo global em x=4 e depois desce até x=5.

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