Esboce o gráfico de uma função
que seja contínua em
e tenha as propriedades dadas.
Mínimo absoluto em 3, máximo absoluto em 4, máximo local em 2.
Mínimo absoluto em 3, máximo absoluto em 4, máximo local em 2.
Passo 1
Enunciado resumido: precisamos de uma função contínua em [1,5] que tenha um mínimo absoluto em x=3, um máximo absoluto em x=4 e ainda um ponto de máximo local em x=2. O assunto aqui é estudo de extremos (máximos e mínimos) em funções contínuas.
Passo 2
Definições teóricas: mínimo absoluto em x₀ significa que
é o menor valor de
em todo o intervalo; máximo absoluto em x₀ significa que
é o maior valor de
em todo o intervalo; máximo local em x₀ significa que existe um entorno de x₀ em que
é maior que todos os valores vizinhos.
Passo 3
Estratégia de esboço: basta escolher alguns pontos-chave cujos valores satisfaçam as condições de extremos e depois ligar esses pontos de modo contínuo (por exemplo, com segmentos de reta).
Passo 4
Construção de um exemplo simples: escolhemos
•
• (aqui será nosso máximo local porque
e
)
• (mínimo absoluto, pois é o valor mais baixo de todos)
• (máximo absoluto, pois é o valor mais alto de todos)
•
Depois, ligamos os pontos →
→
→
→
por retas, garantindo continuidade.
•
•
•
•
•
Depois, ligamos os pontos
Passo 5
Verificação das propriedades: em torno de x=2,
é maior que
e
, logo máximo local. Em todo [1,5], o menor valor é
, logo mínimo absoluto em x=3, e o maior é
, logo máximo absoluto em x=4.
Resposta
Um esboço possível liga por segmentos os pontos (1,1)→(2,2)→(3,0)→(4,3)→(5,1). O gráfico sobe de x=1 até o pico local em x=2, cai até o ponto mais baixo em x=3, sobe novamente até o valor máximo global em x=4 e depois desce até x=5.