Questão 3
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
A função y(x) que é solução da EDO y^{\prime \prime}(x)-e^{2 x}=0 é dada por:
a. y(x)=\frac{e^{2 x}}{4}
b. y(x)=\frac{e^{2 x}}{5}
c. y(x)=\frac{e^{2 x}}{7}
d. y(x)=\frac{e^{2 x}}{9}

Passo 1

O enunciado pede uma função y(x) que satisfaça a EDO
y''(x)-e^{2x}=0.
Isso é uma equação de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos primeiro reescrever como
y''(x)=e^{2x}
e, em seguida, integrar duas vezes.

Passo 2

Integramos uma vez para obter y'(x). Como
y''(x)=e^{2x},
temos
y'(x)=\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.

Passo 3

Agora integramos novamente para achar y(x). Partindo de
y'(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+C_{1},
obtemos
y(x)=\int\Bigl(\frac{1}{2}e^{2x}+C_{1}\Bigr)\,dx =\frac{1}{4}e^{2x}+C_{1}\,x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 4

Entre as opções fornecidas só aparece a parte particular (com constantes nulas). Assim, escolhendo C_{1}=C_{2}=0, a solução particular é
y(x)=\frac{1}{4}e^{2x}.
Comparando com as alternativas, corresponde à letra (a).

Resposta

a. y(x)=\frac{e^{2x}}{4}

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