1. Esboce o gráfico da função g(x)=log 3(x+2)-1 e identifique sua assíntota vertical.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
g(x)=log3(x+2)-1
Isso envolve transformações da função logarítmica básica f(x)=log3x: mudança de variáveis (deslocamento horizontal) e deslocamento vertical, além de identificar domínio e assíntota.

Passo 2

Determinar o domínio de g. Como o logaritmo exige x+2>0, temos
x>-2
Quando xto -2^+, o argumento x+2to0^+ e log3(x+2)to -infty. Logo há uma assíntota vertical em
x=-2

Passo 3

Entender as transformações a partir de f(x)=log3x:
  1. Substituir x por x+2 desloca o gráfico de f duas unidades para a esquerda.
  2. Subtrair 1 faz um deslocamento de uma unidade para baixo.
    Portanto, g é o ramo logarítmico clássico, agora definido só para x>-2, aproximando-se de -infty ao se aproximar de x=-2 pela direita, e crescendo indefinidamente para xto+infty.

Passo 4

Marcar alguns pontos-chave para o esboço:
  • Quando x+2=1 (isto é, x=-1),
g(-1)=log31 -1 =0-1 = -1
  • Quando x+2=3 (isto é, x=1),
g(1)=log33 -1 =1-1 = 0
  • Quando x+2=9 (isto é, x=7),
g(7)=log39 -1 =2-1 = 1
Assim, o esboço passa por (-1,-1), (1,0), (7,1), aproxima-se de -infty em xto -2^+ e cresce lentamente para +infty quando x cresce.

Resposta

A assíntota vertical de g é
x=-2
O gráfico é o ramo de logaritmo em base 3, deslocado 2 unidades para a esquerda e 1 para baixo, conforme descrito.

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