Utilizando séries, encontre a geratriz das seguintes dízimas periódicas:
4,2717171 ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a dízima periódica
x = 4,27171717ldots
e nos pede a fração geratriz (isto é, a representação de x como fração). Vamos usar séries geométricas para converter a parte periódica em uma soma fechada.

Passo 2

Separe a parte inteira e a parte decimal não-periódica de x. Escrevemos
x = 4 + y,
onde
y = 0,27171717ldots
Note que em y os dois primeiros algarismos “27” não se repetem, e a partir daí vem a repetição do bloco “17”.

Passo 3

Escreva y como soma da parte não-periódica mais a série periódica:
y = 0,27 + 0,00171717ldots
Agora
0,00171717ldots = 17times10^-4 + 17times10^-6 + 17times10^-8 + cdots
Isto é uma série geométrica de razão 10^-2. Logo,
0,00171717ldots = 17times10^-4sumk=0^infty(10^-2)^k = 17times10^-4,11-10^-2 = 1710^4cdot11-tfrac1100 = 1710^4cdot10099 = 179900

Passo 4

Some as duas parcelas de y:
y = 27100 + 179900 = 27cdot999900 + 179900 = 2673 + 179900 = 26909900 = 269990
Portanto
x = 4 + y = 4 + 269990 = 4cdot990 + 269990 = 3960 + 269990 = 4229990

Resposta

boxed4229990

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