Esboce o gráfico de uma função que satisfaça:
  • lim x -infty f(x)=infty.
  • lim x -5 f(x)=0 e f(-5)=2.
  • lim x 0^- f(x)=6=f(0) e lim x 0^+ f(x)=infty
  • lim x infty f(x)=3.

Passo 1

O enunciado pede o esboço de um gráfico de uma função com estas características de limites e valores pontuais:
  • limxto -inftyf(x)=infty.
  • limxto -5f(x)=0 mas f(-5)=2.
  • limxto 0^-f(x)=6=f(0) e limxto 0^+f(x)=infty.
  • limxto inftyf(x)=3.
    Vamos construir uma função simples, por partes, que realize exatamente esses comportamentos.

Passo 2

Para x< -5 basta uma reta que beire +infty à esquerda e valha 0 em x=-5. Por exemplo,
f(x) = -x - 5, x< -5
Então
limxto -infty(-x-5)=+infty
e
limxto -5^-(-x-5)=0.

Passo 3

Para -5<x<0 queremos uma reta que valha 0 em -5 e 6 em 0. Uma escolha simples é
f(x) = 65(x+5), -5<x<0
Verificamos
limxto -5^+65(x+5)=0
e
limxto 0^-65(x+5)=6.

Passo 4

Definimos os valores pontuais para ajustar a descontinuidade em -5 e a continuidade à esquerda em 0:
f(-5)=2, f(0)=6
Assim fica claro que em x=-5 há um ponto fora do ramo (o ramo tende a 0 mas o valor é 2), e em x=0 o ramo da esquerda atende limxto0^-f(x)=6=f(0).

Passo 5

Para x>0 precisamos de um ramo que tenda a +infty quando xto0^+ e tenha assíntota horizontal y=3 quando xtoinfty. Uma boa escolha é
f(x) = 1x + 3, x>0
Porque
limxto0^+l(tfrac1x+3r)=+infty
e
limxtoinftyl(tfrac1x+3r)=3.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Para x< -5, o gráfico é uma linha decrescente indo de +infty (quando xto-infty) até um ponto aberto em (-5,0).
  • Há um ponto cheio em (-5,2).
  • Entre -5 e 0, o gráfico é a linha que liga (-5,0) a (0,6).
  • Em x=0 há um ponto cheio em (0,6).
  • Para x>0, o gráfico é o ramo direito da hipérbole y=1/x+3, com assíntota vertical x=0 (vai a +infty) e assíntota horizontal y=3 (quando xtoinfty).

Resposta

Uma função que atende a todas as condições é
f(x) = -x - 5, & x < -5, 2, & x = -5, dfrac65(x+5), & -5 < x < 0, 6, & x = 0, dfrac1x + 3, & x > 0
Seu esboço apresenta:
  • Reta para x< -5 com limxto -inftyf(x)=infty e ponto aberto em (-5,0).
  • Ponto cheio em (-5,2).
  • Reta entre (-5,0) e (0,6), com limxto0^-f(x)=6=f(0).
  • Ramo de hipérbole para x>0 com assíntota vertical em x=0 (tendendo a +infty) e assíntota horizontal y=3 quando xtoinfty.

Exercícios relacionados