Esboce o gráfico de uma função que satisfaça:
-
.
-
e
.
-
e
-
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço de um gráfico de uma função com estas características de limites e valores pontuais:
-
. -
mas . -
e . -
.
Vamos construir uma função simples, por partes, que realize exatamente esses comportamentos.
Passo 2
Para
basta uma reta que beire
à esquerda e valha 0 em
. Por exemplo,
Então
e
.
e
Passo 3
Para
queremos uma reta que valha 0 em
e 6 em
. Uma escolha simples é
Verificamos
e
.
e
Passo 4
Definimos os valores pontuais para ajustar a descontinuidade em
e a continuidade à esquerda em
:
Assim fica claro que em
há um ponto fora do ramo (o ramo tende a 0 mas o valor é 2), e em
o ramo da esquerda atende
.
Passo 5
Para
precisamos de um ramo que tenda a
quando
e tenha assíntota horizontal
quando
. Uma boa escolha é
Porque
e
.
e
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Para
, o gráfico é uma linha decrescente indo de (quando ) até um ponto aberto em . - Há um ponto cheio em
. - Entre
e , o gráfico é a linha que liga a . - Em
há um ponto cheio em . - Para
, o gráfico é o ramo direito da hipérbole , com assíntota vertical (vai a ) e assíntota horizontal (quando ).
Resposta
Uma função que atende a todas as condições é
Seu esboço apresenta:
- Reta para
comx< -5 e ponto aberto emlimxto -inftyf(x)=infty .(-5,0) - Ponto cheio em
.(-5,2) - Reta entre
e(-5,0) , com(0,6) .limxto0^-f(x)=6=f(0) - Ramo de hipérbole para
com assíntota vertical emx>0 (tendendo ax=0 ) e assíntota horizontal+infty quandoy=3 .xtoinfty