Os valores da função f(x)=y são conhecidos nos pontos tabelados:
x f(x)
0 3.0000
0.225403330758517 2.8990
0.25 2.8760
0.5 2.5313
0.75 2.1123
1 2.0000
1.25 2.9268
1.5 6.0938
1.75 13.2881
1.77459666924148 14.3010
2 27.0000
Calcule o resultado da integral integral0^2 f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Trapézio, 9 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é integral0^2 f(x) d x=343. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x) = y com valores conhecidos em vários pontos entre 0 e 2. A missão aqui é calcular a integral integral0^2 f(x) , dx usando o método do Trapézio com 9 pontos. A integral basicamente mede a área sob a curva da função entre esses limites. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do Trapézio, que é uma técnica de aproximação para integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a regra do Trapézio. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em pequenos trapézios em vez de retângulos. A fórmula geral para n pontos é:
integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^n-2 f(xi) + f(xn-1) ]
Onde:
  • h é o tamanho do passo, calculado por h = b - an - 1
  • a e b são os limites da integral
  • n é o número de pontos

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • a = 0
  • b = 2
  • n = 9
Vamos calcular h :
h = 2 - 09 - 1 = 28 = 0.25

Passo 4

Com h = 0.25 , precisamos selecionar 9 pontos entre 0 e 2 com esse espaçamento. Olhando na tabela que temos, vamos considerar os seguintes pontos:
x = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0
E os respectivos f(x) são:
f(x) = 3.0000, 2.8760, 2.5313, 2.1123, 2.0000, 2.9268, 6.0938, 13.2881, 27.0000

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da regra do Trapézio com esses valores:
integral0^2 f(x) , dx approx 0.252 [ f(0) + 2(f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + f(1.0) + f(1.25) + f(1.5) + f(1.75)) + f(2.0) ]

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, somamos os f(xi) internos:
2.8760 + 2.5313 + 2.1123 + 2.0000 + 2.9268 + 6.0938 + 13.2881 = 31.8273
Multiplicando por 2:
2 times 31.8273 = 63.6546
Agora, somamos os valores nas extremidades:
f(0) + f(2.0) = 3.0000 + 27.0000 = 30.0000
Somando tudo dentro dos colchetes:
30.0000 + 63.6546 = 93.6546

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo h2 :
0.252 times 93.6546 = 0.125 times 93.6546 = 11.7068

Passo 8

Sabendo que o resultado analítico da integral é 343 approx 11.3333 , vamos calcular o erro relativo:
Erro Relativo = | Aproximado - ExatoExato | times 100% = | 11.7068 - 11.333311.3333 | times 100% approx 3.34%

Resposta

A integral integral0^2 f(x) , dx calculada pelo método do Trapézio com 9 pontos é aproximadamente 11.7068, apresentando um erro relativo de cerca de 3.34% em relação ao valor exato 343 . Isso mostra que a aproximação está bastante próxima do valor real, com um erro relativamente pequeno.

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