Os valores da função são conhecidos nos pontos tabelados:
x
0
3.0000
0.225403330758517
2.8990
0.25
2.8760
0.5
2.5313
0.75
2.1123
1
2.0000
1.25
2.9268
1.5
6.0938
1.75
13.2881
1.77459666924148
14.3010
2
27.0000
Calcule o resultado da integral utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Trapézio, 9 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é . Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função com valores conhecidos em vários pontos entre 0 e 2. A missão aqui é calcular a integral usando o método do Trapézio com 9 pontos. A integral basicamente mede a área sob a curva da função entre esses limites. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do Trapézio, que é uma técnica de aproximação para integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona a regra do Trapézio. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em pequenos trapézios em vez de retângulos. A fórmula geral para pontos é:
Onde:
é o tamanho do passo, calculado por
e são os limites da integral
é o número de pontos
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que temos:
Vamos calcular :
Passo 4
Com , precisamos selecionar 9 pontos entre 0 e 2 com esse espaçamento. Olhando na tabela que temos, vamos considerar os seguintes pontos:
E os respectivos são:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula da regra do Trapézio com esses valores:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, somamos os internos:
Multiplicando por 2:
Agora, somamos os valores nas extremidades:
Somando tudo dentro dos colchetes:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelo :
Passo 8
Sabendo que o resultado analítico da integral é , vamos calcular o erro relativo:
Resposta
A integral integral0^2 f(x) , dx calculada pelo método do Trapézio com 9 pontos é aproximadamente 11.7068, apresentando um erro relativo de cerca de 3.34% em relação ao valor exato 343 . Isso mostra que a aproximação está bastante próxima do valor real, com um erro relativamente pequeno.