Os valores da função f(x)=y são conhecidos nos pontos tabelados:
x f(x)
0 3.0000
0.225403330758517 2.8990
0.25 2.8760
0.5 2.5313
0.75 2.1123
1 2.0000
1.25 2.9268
1.5 6.0938
1.75 13.2881
1.77459666924148 14.3010
2 27.0000
Calcule o resultado da integral integral0^2 f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Simpson, 5 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é integral0^2 f(x) d x=343. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função f(x) no intervalo de 0 a 2 usando o método de Simpson com 5 pontos. A gente também sabe o valor exato dessa integral, que é 343 . Então, vamos precisar entender como funciona a Regra de Simpson com 5 pontos e depois usar os valores tabelados de f(x) para encontrar a aproximação da integral. No final, vamos calcular o erro relativo dessa aproximação em relação ao valor exato.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra de Simpson. A Regra de Simpson é uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob uma curva. Ela funciona melhor quando a função é suave e podemos usar polinômios de segundo grau para aproximar pequenos trechos da curva.
Com 5 pontos, estamos basicamente dividindo o intervalo de integração em 4 subintervalos iguais. Para aplicar a Regra de Simpson de 5 pontos, usamos uma fórmula que leva em conta os valores da função nos pontos extremos, nos pontos intermediários e nos pontos centrais.

Passo 3

Vamos identificar os pontos que temos na tabela:
Para usar a Regra de Simpson com 5 pontos, precisamos escolher 5 pontos igualmente espaçados. Observando a tabela, vamos selecionar os pontos , , , e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da Regra de Simpson com 5 pontos. A fórmula geral para n = 4 (que é 5 pontos) é:
integrala^b f(x) dx approx De<a x3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
Onde:
  • De<a x = b - a4
  • x0 = a , x1 = a + De<a x , x2 = a + 2De<a x , etc.
No nosso caso:
  • a = 0 , b = 2
  • De<a x = 2 - 04 = 0.5
  • Os pontos são x0 = 0 , x1 = 0.5 , x2 = 1 , x3 = 1.5 , x4 = 2
Vamos agora substituir os valores de f(x) na fórmula:
integral0^2 f(x) dx approx 0.53 [ f(0) + 4f(0.5) + 2f(1) + 4f(1.5) + f(2) ]
Substituindo os valores da tabela:
approx 0.53 [ 3.0000 + 4(2.5313) + 2(2.0000) + 4(6.0938) + 27.0000 ]

Passo 5

Vamos calcular os valores dentro dos colchetes:
3.0000 + 4(2.5313) = 3.0000 + 10.1252 = 13.1252
13.1252 + 2(2.0000) = 13.1252 + 4.0000 = 17.1252
17.1252 + 4(6.0938) = 17.1252 + 24.3752 = 41.5004
41.5004 + 27.0000 = 68.5004
Agora, multiplicamos por 0.53 :
0.53 times 68.5004 approx 0.1667 times 68.5004 approx 11.4167

Passo 6

Agora que temos a aproximação da integral usando a Regra de Simpson com 5 pontos, vamos calcular o erro relativo em relação ao valor exato.
O valor exato da integral é 343 approx 11.3333 .
O erro relativo é calculado por:
Erro Relativo = | Valor Aproximado - Valor ExatoValor Exato | times 100%
Substituindo os valores:
| 11.4167 - 11.333311.3333 | times 100% approx | 0.083411.3333 | times 100% approx 0.735%

Resposta

A aproximação da integral usando a Regra de Simpson com 5 pontos é aproximadamente 11.4167 . O erro relativo em relação ao valor exato 343 é de aproximadamente 0.735% . Isso mostra que a Regra de Simpson com 5 pontos fornece uma estimativa bastante precisa para essa integral.

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