Os valores da função são conhecidos nos pontos tabelados:
x
0
3.0000
0.225403330758517
2.8990
0.25
2.8760
0.5
2.5313
0.75
2.1123
1
2.0000
1.25
2.9268
1.5
6.0938
1.75
13.2881
1.77459666924148
14.3010
2
27.0000
Calcule o resultado da integral utilizando os seguintes métodos e número de pontos:
Simpson, 5 pontos;
Sabendo que o resultado analítico da função é . Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função no intervalo de 0 a 2 usando o método de Simpson com 5 pontos. A gente também sabe o valor exato dessa integral, que é . Então, vamos precisar entender como funciona a Regra de Simpson com 5 pontos e depois usar os valores tabelados de para encontrar a aproximação da integral. No final, vamos calcular o erro relativo dessa aproximação em relação ao valor exato.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra de Simpson. A Regra de Simpson é uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob uma curva. Ela funciona melhor quando a função é suave e podemos usar polinômios de segundo grau para aproximar pequenos trechos da curva.
Com 5 pontos, estamos basicamente dividindo o intervalo de integração em 4 subintervalos iguais. Para aplicar a Regra de Simpson de 5 pontos, usamos uma fórmula que leva em conta os valores da função nos pontos extremos, nos pontos intermediários e nos pontos centrais.
Passo 3
Vamos identificar os pontos que temos na tabela:
Para usar a Regra de Simpson com 5 pontos, precisamos escolher 5 pontos igualmente espaçados. Observando a tabela, vamos selecionar os pontos , , , e .
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da Regra de Simpson com 5 pontos. A fórmula geral para (que é 5 pontos) é:
Onde:
, , , etc.
No nosso caso:
,
Os pontos são , , , ,
Vamos agora substituir os valores de na fórmula:
Substituindo os valores da tabela:
Passo 5
Vamos calcular os valores dentro dos colchetes:
Agora, multiplicamos por :
Passo 6
Agora que temos a aproximação da integral usando a Regra de Simpson com 5 pontos, vamos calcular o erro relativo em relação ao valor exato.
O valor exato da integral é .
O erro relativo é calculado por:
Substituindo os valores:
| 11.4167 - 11.333311.3333 | times 100% approx | 0.083411.3333 | times 100% approx 0.735%
Resposta
A aproximação da integral usando a Regra de Simpson com 5 pontos é aproximadamente 11.4167 . O erro relativo em relação ao valor exato 343 é de aproximadamente 0.735% . Isso mostra que a Regra de Simpson com 5 pontos fornece uma estimativa bastante precisa para essa integral.