Nos problemas de 1 a 3 , resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto
dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os seis primeiros termos (
até
) da solução geral (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
em torno de
usando séries de potências. O conteúdo é “solução em série de potências para EDO de coeficientes analíticos”; vamos precisar assumir
, calcular
e
, substituir na EDO, igualar coeficientes e extrair a relação de recorrência e os primeiros
.
Passo 2
Assumimos
logo
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Como o segundo somatório pode reescrever-se para
(coeficiente zero em
), juntamos tudo num único índice:
Passo 4
Igualando o coeficiente de
a zero dá
ou seja, para todo
,
Passo 5
Tomando
e
livres, calculamos
Passo 6
Observando o padrão, para
vêm:
Resposta
Relação de recorrência:
Seis primeiros termos:
Termo geral: