Nos problemas de 1 a 3 , resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os seis primeiros termos ( a0 até a5 ) da solução geral (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
y^prime prime+x y^prime+2 y=0 , x0=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + x,y' + 2,y = 0
em torno de x0=0 usando séries de potências. O conteúdo é “solução em série de potências para EDO de coeficientes analíticos”; vamos precisar assumir
y=sumn=0^inftyanx^n, calcular y' e y'', substituir na EDO, igualar coeficientes e extrair a relação de recorrência e os primeiros an.

Passo 2

Assumimos
y = sumn=0^inftyanx^n,
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y' = sumn=0^infty(n+1),an+1,x^n,
y'' = sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n

Passo 3

Substituindo em y'' + x,y' + 2,y=0 obtemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n +sumn=1^inftyn,an,x^n +2sumn=0^inftyan,x^n =0
Como o segundo somatório pode reescrever-se para n>=0 (coeficiente zero em n=0), juntamos tudo num único índice:
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2 + n,an + 2,anr]x^n=0

Passo 4

Igualando o coeficiente de x^n a zero dá
(n+2)(n+1),an+2 + (n+2),an = 0
ou seja, para todo n>=0,
an+2 = -ann+1

Passo 5

Tomando a0 e a1 livres, calculamos
a2 = -a01 = -a0, a3 = -a12,
a4 = -a23 = a03, a5 = -a34 = a18

Passo 6

Observando o padrão, para m>=0 vêm:
a2m = (-1)^m,a01cdot3cdot5cdots(2m-1),
a2m+1 = (-1)^m,a12cdot4cdot6cdots(2m) =(-1)^m,a12^m,m!

Resposta

Relação de recorrência:
an+2 = -ann+1, n>=0
Seis primeiros termos:
a0,;a1,;a2=-a0,;a3=-a12,; a4=a03,;a5=a18
Termo geral:
a2m = (-1)^m,a01cdot3cdot5cdots(2m-1), a2m+1 = (-1)^m,a12^m,m!

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