Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
f^prime(5)=0, f^prime(x)<0 quando x<5, f^prime(x)>0 quando x>5, f^prime prime(2)=0, f^prime prime(8)=0, f^prime prime(x)<0 quando x<2 ou x>8, f^prime prime(x)>0 para 2<x<8, lim x infty f(x)=3, lim x -infty f(x)=3

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos uma função f que satisfaça:
f'(5)=0, f'(x)<0 para x<5, f'(x)>0 para x>5,
f''(2)=0, f''(x)<0 quando x<2, f''(x)>0 para 2<x<8, f''(8)=0, f''(x)<0 para x>8,
e ainda
limxto-inftyf(x)=3, limxtoinftyf(x)=3
O conteúdo é análise de sinais de f' (crescimento/decrescimento), de f'' (concavidade e pontos de inflexão) e assíntotas horizontais.

Passo 2

Para xto -infty temos f(x)to3. Como f'(x)<0 em todo intervalo até x=5, f é sempre decrescente para x<5. Logo, saímos da reta y=3 quando x aumenta desde -infty, com f(x) ligeiramente abaixo de 3.
Até o ponto x=2 temos f''(x)<0, isto é, concavidade para baixo. Então o gráfico parte de perto de y=3 e desce, curvando-se para baixo, até chegar ao ponto de inflexão em x=2.

Passo 3

Em x=2 ocorre a primeira mudança de concavidade ( f''(2)=0). Para 2<x<5 temos f''(x)>0, de modo que o gráfico continua decrescendo mas agora com concavidade para cima, até o ponto crítico em x=5.

Passo 4

Em x=5 vale f'(5)=0 e há troca de sinal de f' (de negativa para positiva), portanto x=5 é um ponto de mínimo local. Como f decrescia vindo da esquerda e cresce para a direita, esse é o único mínimo e será global (dentro do crescimento/decrescimento dado).
Entre x=5 e x=8 ainda temos f''(x)>0, ou seja, concavidade para cima e f cresce dali até x=8. Em x=8 ocorre o segundo ponto de inflexão ( f''(8)=0).

Passo 5

Para x>8 vale f''(x)<0, ou seja, o gráfico cresce com concavidade para baixo. Ao avançar a xto+infty, f(x) tende a 3 pela direita, aproximando-se assintoticamente da reta y=3.
Juntando tudo:
– Para xto-infty: f(x)to3, decrescente e côncavo para baixo até x=2.
– Em x=2: inflexão para concavidade para cima; continua decrescendo até x=5.
– Em x=5: mínimo global; daí em diante f cresce, mantendo concavidade para cima até x=8.
– Em x=8: segunda inflexão; para x>8, cresce com concavidade para baixo e aproxima-se de y=3.

Resposta

Um esboço qualitativo é uma curva que parte de perto de y=3 à esquerda, desce com concavidade para baixo até x=2, inflete para concavidade para cima descendo até o mínimo em x=5, cresce ainda côncava para cima até x=8, inflete de novo e cresce côncava para baixo aproximando-se de y=3 à direita.

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