Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
quando
,
quando
,
quando
ou
,
para
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos uma função
que satisfaça:
e ainda
O conteúdo é análise de sinais de
(crescimento/decrescimento), de
(concavidade e pontos de inflexão) e assíntotas horizontais.
Passo 2
Para
temos
. Como
em todo intervalo até
,
é sempre decrescente para
. Logo, saímos da reta
quando
aumenta desde
, com
ligeiramente abaixo de
.
Até o ponto temos
, isto é, concavidade para baixo. Então o gráfico parte de perto de
e desce, curvando-se para baixo, até chegar ao ponto de inflexão em
.
Até o ponto
Passo 3
Em
ocorre a primeira mudança de concavidade (
). Para
temos
, de modo que o gráfico continua decrescendo mas agora com concavidade para cima, até o ponto crítico em
.
Passo 4
Em
vale
e há troca de sinal de
(de negativa para positiva), portanto
é um ponto de mínimo local. Como
decrescia vindo da esquerda e cresce para a direita, esse é o único mínimo e será global (dentro do crescimento/decrescimento dado).
Entre e
ainda temos
, ou seja, concavidade para cima e
cresce dali até
. Em
ocorre o segundo ponto de inflexão (
).
Entre
Passo 5
Para
vale
, ou seja, o gráfico cresce com concavidade para baixo. Ao avançar a
,
tende a
pela direita, aproximando-se assintoticamente da reta
.
Juntando tudo:
– Para :
, decrescente e côncavo para baixo até
.
– Em : inflexão para concavidade para cima; continua decrescendo até
.
– Em : mínimo global; daí em diante
cresce, mantendo concavidade para cima até
.
– Em : segunda inflexão; para
, cresce com concavidade para baixo e aproxima-se de
.
Juntando tudo:
– Para
– Em
– Em
– Em
Resposta
Um esboço qualitativo é uma curva que parte de perto de
à esquerda, desce com concavidade para baixo até
, inflete para concavidade para cima descendo até o mínimo em
, cresce ainda côncava para cima até
, inflete de novo e cresce côncava para baixo aproximando-se de
à direita.