Esboce o gráfico de uma função f que seja definida em R e contínua, exceto pelas descontinuidades mencionadas.
Continuidade somente à esquerda em -1, descontinuidade à esquerda e à direita em 3.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos esboçar uma função fcolon RtoR que seja contínua em todos os pontos, exceto em x=-1 (continuidade apenas pela esquerda) e em x=3 (descontinuidade pelas duas laterais). O conteúdo envolve a definição de limite unilateral e o conceito de continuidade em pontos.

Passo 2

Para criar um exemplo simples, dividimos o domínio em três intervalos e escolhemos retas de inclinação 1 em cada um:
Para x< -1 definimos
f(x)=x,
para -1<x<3 definimos
f(x)=x+2,
e para x>3 definimos
f(x)=x+4
Além disso, fixamos os valores pontuais
f(-1)=-1 e f(3)=0
para controlar exatamente as descontinuidades desejadas.

Passo 3

Verificação em x=-1:
limxto -1^-f(x)= -1, f(-1)=-1, limxto -1^+f(x)=(-1)+2=1
Como limxto -1^-f(x)=f(-1)neq limxto -1^+f(x), a função é contínua somente pela esquerda em x=-1.

Passo 4

Verificação em x=3:
limxto 3^-f(x)=3+2=5, limxto 3^+f(x)=3+4=7, f(3)=0
Os limites laterais são distintos entre si e distintos de f(3), portanto há descontinuidade tanto à esquerda quanto à direita em x=3.

Passo 5

Descrição do esboço do gráfico:
Para x< -1 traçamos a reta y=x que termina num ponto fechado em (-1,-1). Em seguida, para -1<x<3 desenhamos a reta y=x+2, que começa num ponto aberto em (-1,1) e termina num ponto aberto em (3,5). No ponto x=3 colocamos um ponto fechado em (3,0) e dois pontos abertos em (3,5) e em (3,7) para indicar as descontinuidades. Finalmente, para x>3 traçamos a reta y=x+4 iniciando no ponto aberto em (3,7).

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz as condições é
f(x)= x, & x< -1, -1, & x=-1, x+2, & -1< x<3, 0, & x=3, x+4, & x>3
O esboço consiste nas três retas descritas com pontos fechados e abertos exatamente nos lugares indicados para garantir continuidade apenas à esquerda em -1 e descontinuidade em ambas as laterais em 3.

Exercícios relacionados