Nos exercícios 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos (x), da região ® delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(y=\cos x, y=\operatorname{sen} x, x=0) e (x=\frac{\pi}{4})

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região R limitada pelas curvas
;y=cos x, ;y=sin x, ;x=0 e ;x=pi/4.
O conteúdo necessário é o método dos discos (anéis), que usa uma integral definida calculando a diferença dos quadrados dos raios externo e interno.

Passo 2

No intervalo [0,pi/4], observamos que
cos x>=sin x
pois cos x decresce de 1 a tfracraiz22 e sin x cresce de 0 a tfracraiz22.
Logo o raio externo é R(x)=cos x e o raio interno é r(x)=sin x.

Passo 3

Pelo método dos anéis, o volume é dado por
V=piintegral0^pi/4l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx
Substituindo R(x)=cos x e r(x)=sin x, temos
V=piintegral0^pi/4l[cos^2 x - sin^2 xr],dx

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
cos^2 x - sin^2 x = cos(2x)
portanto
V=piintegral0^pi/4cos(2x),dx

Passo 5

Calculamos a integral e avaliamos em 0 e pi/4:
integral0^pi/4cos(2x),dx =12,sin(2x)|0^pi/4 =12l(sin(tfracpi2)-sin0r) =12
Logo
V=picdot12=pi2

Resposta

O volume do sólido de revolução é pi2.

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