Esboce o gráfico de uma função
que seja definida em
e contínua, exceto pelas descontinuidades mencionadas.
Descontinuidade de salto em -3 , descontinuidade removível em 4.
Descontinuidade de salto em -3 , descontinuidade removível em 4.
Passo 1
O enunciado pede um esboço de uma função
que seja contínua em todo ponto exceto em duas descontinuidades:
– uma descontinuidade de salto em , ou seja,
.
– uma descontinuidade removível em , ou seja,
existe mas é diferente de
.
– uma descontinuidade de salto em
– uma descontinuidade removível em
Conteúdo: tipos de descontinuidade e construção de funções piecewise para satisfazer condições de limite.
Passo 2
Vamos definir explicitamente
Aqui, para . Para
e para
temos a reta horizontal
. Em
definimos
(ela poderia até ficar indefinida, mas escolhemos esse valor) e em
fixamos
.]
Passo 3
Analisando o salto em
:
logo há de fato um salto, pois os dois limites laterais são diferentes.
Passo 4
Analisando a descontinuidade removível em
:
portanto
existe, mas
. Isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco” no valor
com ponto preenchido em
).
Passo 5
Esboço do gráfico:
– Para : segmento horizontal em
. Em
ponto sólido em
.
– Em também deixamos aberto o ponto
, pois para
a função salta para
.
– Para e para
: segmento horizontal em
.
– Em deixamos um círculo aberto em
e um ponto sólido em
.
– Para
– Em
– Para
– Em
Dessa forma o gráfico mostra claramente o salto em
e o buraco removível em
.
Resposta
O gráfico é a união de duas retas horizontais, com salto de
para
em
e um “buraco” em
preenchido em
.