Esboce o gráfico de uma função f que seja definida em R e contínua, exceto pelas descontinuidades mencionadas.
Descontinuidade de salto em -3 , descontinuidade removível em 4.

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f:RtoR que seja contínua em todo ponto exceto em duas descontinuidades:
– uma descontinuidade de salto em x=-3, ou seja, limxto-3^-f(x)neqlimxto-3^+f(x).
– uma descontinuidade removível em x=4, ou seja, limxto4f(x) existe mas é diferente de f(4).
Conteúdo: tipos de descontinuidade e construção de funções piecewise para satisfazer condições de limite.

Passo 2

Vamos definir explicitamente
Aqui, para . Para e para temos a reta horizontal . Em definimos (ela poderia até ficar indefinida, mas escolhemos esse valor) e em fixamos .]

Passo 3

Analisando o salto em x=-3:
limxto-3^-f(x)=1, limxto-3^+f(x)=2,
logo há de fato um salto, pois os dois limites laterais são diferentes.

Passo 4

Analisando a descontinuidade removível em x=4:
limxto4^-f(x)=2, limxto4^+f(x)=2,
portanto limxto4f(x)=2 existe, mas f(4)=0neq2. Isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco” no valor y=2 com ponto preenchido em (4,0)).

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Para x<-3: segmento horizontal em y=1. Em x=-3 ponto sólido em (-3,1).
– Em x=-3 também deixamos aberto o ponto (-3,2), pois para x>-3 a função salta para y=2.
– Para -3<x<4 e para x>4: segmento horizontal em y=2.
– Em x=4 deixamos um círculo aberto em (4,2) e um ponto sólido em (4,0).
Dessa forma o gráfico mostra claramente o salto em -3 e o buraco removível em 4.

Resposta

O gráfico é a união de duas retas horizontais, com salto de 1 para 2 em -3 e um “buraco” em (4,2) preenchido em (4,0).

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