Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua em dado número a.
f(x)=3 x^2+(x+2)^5, a=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função f(x) = 3x^2 + (x + 2)^5 é contínua no ponto a = -1 . Para isso, vamos usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites que a gente aprendeu.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função f(x) é contínua em a se o limite de f(x) quando x se aproxima de a for igual ao valor da função em a , ou seja:
limx to a f(x) = f(a)
Então, nosso objetivo é calcular limx to -1 f(x) e comparar com f(-1) .

Passo 3

Vamos calcular f(-1) . Substituindo x = -1 na função:
f(-1) = 3(-1)^2 + (-1 + 2)^5 = 3(1) + (1)^5 = 3 + 1 = 4
Então, f(-1) = 4 .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite limx to -1 f(x) . Usando a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites, e que os polinômios são contínuos (ou seja, o limite de um polinômio é o próprio valor do polinômio no ponto), temos:
limx to -1 f(x) = limx to -1 (3x^2 + (x + 2)^5) = 3 limx to -1 x^2 + limx to -1 (x + 2)^5
Calculando cada limite separadamente:
limx to -1 x^2 = (-1)^2 = 1
limx to -1 (x + 2)^5 = ( -1 + 2)^5 = 1^5 = 1
Então:
limx to -1 f(x) = 3(1) + 1 = 4

Resposta

Como limx to -1 f(x) = 4 e f(-1) = 4 , a função f(x) = 3x^2 + (x + 2)^5 é contínua em a = -1 .

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