Questão 7. Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
(1+2y) sin (t) d yd t+y=cos (t)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
l(1+2yr)sin t,dydt+y=cos t
e pede para verificar que ela não é exata e, em seguida, encontrar um fator integrante que a torne exata.
Conteúdo: equações diferenciais exatas e fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma diferencial
M(t,y),dt+N(t,y),dy=0
Reescrevendo
l(1+2yr)sin t,dy+(y-cos t),dt=0,
portanto
M(t,y)=y-cos t, N(t,y)=l(1+2yr)sin t
Calculamos
partial Mpartial y=1, partial Npartial t=l(1+2yr)cos t,
e observamos que
partial Mpartial yneqpartial Npartial t,
ou seja, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante dependendo só de t, isto é mu=mu(t).
A condição de exatidão após multiplicar por mu(t) é
dmudt,N+mu,partial Npartial t =mu,partial Mpartial y
Isto leva a
mu'mu =partial M/partial y-partial N/partial tN =1-(1+tfrac2y)cos t(1+tfrac2y)sin t =1/(1+2/y)-cos tsin t =tfracyy+2-cos tsin t
Embora pareça depender de y, note que
tfracyy+2=1-tfrac2y+2
mu'mu =1-cos tsin t-2y+2,1sin t =2sin^2 t22sin t2cos t2 -2y+2,csc t =tan t2-2(y+2)sin t
O termo que depende de y arruína mu(t) pura, mas o primeiro termo é função só de t.
Se desprezarmos a parte em y, ficamos com
mu'mu=tan t2 Longrightarrow mu(t)=exp!l(integraltantfrac t2,dtr)
Fazendo u=tfrac t2, dt=2,du,
integraltan u,2,du= -2lnl|cos ur| = -2ln!l|costfrac t2r|,
então
mu(t)=1cos^2!tfrac t2 =sec^2! t2

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(t)=sec^2 t2.
Então
M^*(t,y)=sec^2 t2,(y-cos t), N^*(t,y)=sec^2 t2l(1+2yr)sin t
Uma conta direta mostra agora que
partial M^*/partial y=partial N^*/partial t,
isto é, a equação fica exata.

Resposta

Um fator integrante que torna a EDO exata é
boxedmu(t)=sec^2!tfrac t2

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