Questão 7. Verifique que a EDO abaixo não é exata e encontre um fator integrante que a torne exata.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede para verificar que ela não é exata e, em seguida, encontrar um fator integrante que a torne exata.
Conteúdo: equações diferenciais exatas e fator integrante.
Passo 2
Escrevemos a EDO na forma diferencial
Reescrevendo
portanto
Calculamos
e observamos que
ou seja, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante dependendo só de , isto é .
A condição de exatidão após multiplicar por é
Isto leva a
Embora pareça depender de , note que
dá
O termo que depende de arruína pura, mas o primeiro termo é função só de .
Se desprezarmos a parte em , ficamos com
Fazendo , , ,
então
mu(t)=1cos^2!tfrac t2 =sec^2! t2
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por mu(t)=sec^2 t2.
Então
M^*(t,y)=sec^2 t2,(y-cos t), N^*(t,y)=sec^2 t2l(1+2yr)sin t
Uma conta direta mostra agora que partial M^*/partial y=partial N^*/partial t,
isto é, a equação fica exata.