Seja Gamma(x)=integral0^+infty t^x-1 e^-t d t; esta função é chamada função gama. Verifique:
(a) Gamma(x+1)=x Gamma(x), x>0
(b) Se n in N então Gamma(n+1)=n !.

Passo 1

O enunciado define a função Gamma por
Gamma(x)=integral0^+inftyt^x-1e^-t,dt,
e pede duas coisas:
(a) mostrar que Gamma(x+1)=x,Gamma(x) para x>0;
(b) deduzir que, quando ninN, Gamma(n+1)=n!.
Para isso vamos usar integração por partes no item (a) e, em (b), um argumento por indução.

Passo 2

Para (a), comece escrevendo
Gamma(x+1)=integral0^inftyt^(x+1)-1e^-t,dt =integral0^inftyt^xe^-t,dt
Aplique integração por partes escolhendo
u = t^x, dv = e^-t,dt,
então
du = x,t^x-1,dt, v = -e^-t
Isso dá
integral0^inftyt^xe^-t,dt =l[-,t^xe^-tr]0^infty + xintegral0^inftyt^x-1e^-t,dt
As duas parcelas de fronteira valem zero: em ttoinfty, t^x e^-tto0 e em tto0^+, t^xto0 (pois x>0). Logo sobra
Gamma(x+1)=xintegral0^inftyt^x-1e^-t,dt =x,Gamma(x)

Passo 3

Para (b), note primeiro que
Gamma(1)=integral0^inftyt^0e^-t,dt =integral0^inftye^-t,dt =1 = 0!
Agora use a propriedade de recorrência já provada: se assumirmos Gamma(k+1)=k! para algum kinN, então
Gammal((k+1)+1r) = (k+1),Gamma(k+1) = (k+1),k! = (k+1)!
Isso fecha a indução e mostra que, para todo ninN, Gamma(n+1)=n!.

Resposta

(a) Gamma(x+1)=x,Gamma(x), para x>0.
(b) Gamma(n+1)=n!, para ninN.

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