Seja
; esta função é chamada função gama. Verifique:
(a)
(b) Se
então
!.
(a)
(b) Se
Passo 1
O enunciado define a função Gamma por
e pede duas coisas:
(a) mostrar que para
;
(b) deduzir que, quando ,
.
Para isso vamos usar integração por partes no item (a) e, em (b), um argumento por indução.
(a) mostrar que
(b) deduzir que, quando
Para isso vamos usar integração por partes no item (a) e, em (b), um argumento por indução.
Passo 2
Para (a), comece escrevendo
Aplique integração por partes escolhendo
então
Isso dá
As duas parcelas de fronteira valem zero: em
,
e em
,
(pois
). Logo sobra
Passo 3
Para (b), note primeiro que
Agora use a propriedade de recorrência já provada: se assumirmos
para algum
, então
Isso fecha a indução e mostra que, para todo
,
.
Resposta
(a)
, para
.
(b) , para
.
(b)