Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de

Passo 1

O exercício pede para desenhar o gráfico da função por partes e, a partir dele, descobrir para quais valores de a o limite limxto af(x) existe. O conteúdo envolvido aqui é análise de limites laterais e continuidade de funções definidas por partes.

Passo 2

Para esboçar o gráfico em x<0, usamos f(x)=1+sin x. Essa é uma senoide deslocada para cima em 1 unidade. Em particular, quando xto 0^-, temos

Passo 3

[

Passo 4

\lim_{x\to0^-}f(x)=1+\sin0=1

Passo 5

],

Passo 6

então o ramo esquerdo chega ao ponto (0,1).

Passo 7

No intervalo 0<= x<=pi, temos f(x)=cos x. Essa curva vai de cos0=1 em x=0 até cospi=-1 em x=pi, incluindo ambos os extremos. Logo o gráfico passa por (0,1) e por (pi,-1).

Passo 8

Para x>pi, usamos f(x)=sin x. Esse ramo começa em (pi,sinpi)=(pi,0) mas como a definição é para x>pi, o ponto em x=pi fica aberto nesse ramo. A partir daí, a curva segue a senoide normal.

Passo 9

Agora, para verificar onde limxto af(x) existe, basta checar continuidade em cada região e nos pontos de troca de definição ( x=0 e x=pi).

Passo 10

Em qualquer a<0, a função é 1+sin x, contínua, logo o limite existe. De modo semelhante, para 0<a<pi e para a>pi, cada ramo interno é contínuo e o limite existe.

Passo 11

No ponto a=0, calculamos as laterais:

Passo 12

[

Passo 13

\lim_{x\to0^-}f(x)=1+\sin0=1,

Passo 14

]

Passo 15

[

Passo 16

\lim_{x\to0^+}f(x)=\cos0=1.

Passo 17

]

Passo 18

Como as duas dão 1, o limite em 0 existe e vale 1.

Passo 19

No ponto a=pi, temos

Passo 20

[

Passo 21

\lim_{x\to\pi^-}f(x)=\cos\pi=-1,

Passo 22

]

Passo 23

[

Passo 24

\lim_{x\to\pi^+}f(x)=\sin\pi=0.

Passo 25

]

Passo 26

Como -1neq0, o limite em pi não existe.

Resposta

O limite limxto af(x) existe para todo ainR exceto em a=pi.

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