Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de
Passo 1
O exercício pede para desenhar o gráfico da função por partes e, a partir dele, descobrir para quais valores de
o limite
existe. O conteúdo envolvido aqui é análise de limites laterais e continuidade de funções definidas por partes.
Passo 2
Para esboçar o gráfico em
, usamos
. Essa é uma senoide deslocada para cima em 1 unidade. Em particular, quando
, temos
Passo 3
[
Passo 4
\lim_{x\to0^-}f(x)=1+\sin0=1
Passo 5
],
Passo 6
então o ramo esquerdo chega ao ponto
.
Passo 7
No intervalo
, temos
. Essa curva vai de
em
até
em
, incluindo ambos os extremos. Logo o gráfico passa por
e por
.
Passo 8
Para
, usamos
. Esse ramo começa em
mas como a definição é para
, o ponto em
fica aberto nesse ramo. A partir daí, a curva segue a senoide normal.
Passo 9
Agora, para verificar onde
existe, basta checar continuidade em cada região e nos pontos de troca de definição (
e
).
Passo 10
Em qualquer
, a função é
, contínua, logo o limite existe. De modo semelhante, para
e para
, cada ramo interno é contínuo e o limite existe.
Passo 11
No ponto
, calculamos as laterais:
Passo 12
[
Passo 13
\lim_{x\to0^-}f(x)=1+\sin0=1,
Passo 14
]
Passo 15
[
Passo 16
\lim_{x\to0^+}f(x)=\cos0=1.
Passo 17
]
Passo 18
Como as duas dão 1, o limite em
existe e vale 1.
Passo 19
No ponto
, temos
Passo 20
[
Passo 21
\lim_{x\to\pi^-}f(x)=\cos\pi=-1,
Passo 22
]
Passo 23
[
Passo 24
\lim_{x\to\pi^+}f(x)=\sin\pi=0.
Passo 25
]
Passo 26
Como
, o limite em
não existe.
Resposta
O limite
existe para todo
exceto em
.