Seja a função,
f(x, y)=x^wed>= 2 y+x y^wed>= 2
Determine as derivadas mistas de segunda ordem e verifique se são ou näo idênticas.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2y + x,y^2
e pede para calcular as derivadas mistas de segunda ordem, isto é,
fxy=partialpartial yl(partial fpartial xr) e fyx=partialpartial xl(partial fpartial yr),
e verificar se fxy e fyx coincidem. Vamos usar regras básicas de derivação parcial para funções polinomiais.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x. Trate y como constante e derive termo a termo:
f(x,y)=x^2y + x,y^2
Logo,
fx(x,y) =partialpartial xl(x^2yr) +partialpartial xl(x,y^2r) =2x,y + y^2

Passo 3

Agora derivamos fx(x,y)=2x,y + y^2 em relação a y, vendo x como constante:
fxy(x,y) =partialpartial yl(2x,y + y^2r) =2x + 2y

Passo 4

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Trate x como constante:
f(x,y)=x^2y + x,y^2
Logo,
fy(x,y) =partialpartial yl(x^2yr) +partialpartial yl(x,y^2r) =x^2 + 2x,y

Passo 5

Derivar fy(x,y)=x^2 + 2x,y em relação a x, vendo y como constante:
fyx(x,y) =partialpartial xl(x^2 + 2x,yr) =2x + 2y

Passo 6

Comparando, obtemos
fxy(x,y)=2x+2y e fyx(x,y)=2x+2y
Como são iguais, a derivada mista é contínua e satisfaz o teorema de Clairaut.

Resposta

As derivadas mistas são
fxy(x,y)=2x+2y e fyx(x,y)=2x+2y,
e portanto são idênticas.

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