Seja a função,
Determine as derivadas mistas de segunda ordem e verifique se são ou näo idênticas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas mistas de segunda ordem, isto é,
e verificar se
e
coincidem. Vamos usar regras básicas de derivação parcial para funções polinomiais.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Trate
como constante e derive termo a termo:
Logo,
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
, vendo
como constante:
Passo 4
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Trate
como constante:
Logo,
Passo 5
Derivar
em relação a
, vendo
como constante:
Passo 6
Comparando, obtemos
Como são iguais, a derivada mista é contínua e satisfaz o teorema de Clairaut.
Resposta
As derivadas mistas são
e portanto são idênticas.