Seja a função,
f(x, y)=x^wed>= 2 y+x y^wed>= 2
Determine As derivadas parciais de segunda ordem

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^2,y + x,y^2
e pede as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos usar as definições de derivada parcial e a regra do produto, já que cada termo é um produto de funções de x e y.

Passo 2

Para obter as derivadas de primeira ordem, derivamos em relação a uma variável de cada vez, tratando a outra como constante.
Derivando em relação a x:
fx(x,y) =partialpartial xl(x^2y + x y^2r) =2x,y + y^2
Derivando em relação a y:
fy(x,y) =partialpartial yl(x^2y + x y^2r) =x^2 + 2x,y

Passo 3

A partir de fx, calculamos as segundas derivadas parciais envolvendo derivação em x e em y:
fxx(x,y) =partialpartial x(2x,y + y^2) =2y,
fxy(x,y) =partialpartial y(2x,y + y^2) =2x + 2y

Passo 4

A partir de fy, calculamos as segundas derivadas parciais restantes:
fyy(x,y) =partialpartial y(x^2 + 2x,y) =2x,
fyx(x,y) =partialpartial x(x^2 + 2x,y) =2x + 2y
Note que ,fxy=fyx,, conforme o teorema de Schwarz.

Resposta

fxx(x,y)=2y,
fxy(x,y)=fyx(x,y)=2x + 2y,
fyy(x,y)=2x

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