(a) Mostre que, de todos os retângulos com uma dada área, aquele com o menor perímetro é um quadrado.
(b) Mostre que, de todos os retângulos com um dado perímetro, aquele com a maior área é um quadrado.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar, entre todos os retângulos de lados x,y>0:
– em (a) aquele de área fixa A que tem o menor perímetro;
– em (b) aquele de perímetro fixo P que tem a maior área.
A ferramenta que vamos usar é otimização de funções de uma variável via derivadas.

Passo 2

Para (a), a área é xy=A, então podemos escrever
y = Ax
O perímetro é P(x)=2(x+y), logo
P(x) = 2l(x + Axr)

Passo 3

Calculamos a derivada para encontrar o mínimo:
P'(x) = 2l(1 - Ax^2r)
Igualando a zero,
1 - Ax^2 = 0 Longrightarrow x = raizA
Daí y = A/x = raizA, o que mostra que o retângulo ótimo é um quadrado.

Passo 4

Para ter certeza de que é mesmo um mínimo, olhamos a segunda derivada:
P''(x) = 4Ax^3
Como A>0 e x>0, temos P''(x)>0 no ponto crítico, confirmando que é mínimo.

Passo 5

Para (b), a condição de perímetro fixo é 2(x+y)=P, então
y = P2 - x
A área em função de x fica
S(x) = x,y = xl(P2 - xr) = P2x - x^2

Passo 6

Derivando para achar o máximo:
S'(x) = P2 - 2x
Igualando a zero,
P2 - 2x = 0 Longrightarrow x = P4,
e então y = P2 - x = P4. Outra vez o retângulo ótimo é um quadrado.

Passo 7

Verificamos que é máximo analisando a segunda derivada:
S''(x) = -2 < 0,
logo o ponto crítico dá mesmo um máximo de área.

Resposta

(a) O retângulo de área A com menor perímetro é o quadrado de lado raizA.
(b) O retângulo de perímetro P com maior área é o quadrado de lado tfracP4.

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