(a) Mostre que, de todos os retângulos com uma dada área, aquele com o menor perímetro é um quadrado.
(b) Mostre que, de todos os retângulos com um dado perímetro, aquele com a maior área é um quadrado.
(b) Mostre que, de todos os retângulos com um dado perímetro, aquele com a maior área é um quadrado.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar, entre todos os retângulos de lados
:
– em (a) aquele de área fixa que tem o menor perímetro;
– em (b) aquele de perímetro fixo que tem a maior área.
A ferramenta que vamos usar é otimização de funções de uma variável via derivadas.
– em (a) aquele de área fixa
– em (b) aquele de perímetro fixo
A ferramenta que vamos usar é otimização de funções de uma variável via derivadas.
Passo 2
Para (a), a área é
, então podemos escrever
O perímetro é
, logo
Passo 3
Calculamos a derivada para encontrar o mínimo:
Igualando a zero,
Daí
, o que mostra que o retângulo ótimo é um quadrado.
Passo 4
Para ter certeza de que é mesmo um mínimo, olhamos a segunda derivada:
Como
e
, temos
no ponto crítico, confirmando que é mínimo.
Passo 5
Para (b), a condição de perímetro fixo é
, então
A área em função de
fica
Passo 6
Derivando para achar o máximo:
Igualando a zero,
e então
. Outra vez o retângulo ótimo é um quadrado.
Passo 7
Verificamos que é máximo analisando a segunda derivada:
logo o ponto crítico dá mesmo um máximo de área.
Resposta
(a) O retângulo de área
com menor perímetro é o quadrado de lado
.
(b) O retângulo de perímetro com maior área é o quadrado de lado
.
(b) O retângulo de perímetro