Esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=x^2-2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar o gráfico da função f(x) = x^2 - 2x - 3 . Isso faz parte do estudo de funções quadráticas, que são aquelas que têm a forma geral f(x) = ax^2 + bx + c . Para esboçar o gráfico, vamos precisar identificar alguns pontos-chave, como o vértice, as raízes e o comportamento da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função f(x) = x^2 - 2x - 3 é uma parábola, já que o termo de maior grau é x^2 . O coeficiente de x^2 é positivo, o que significa que a parábola abre para cima.

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais baixo (mínimo) ou mais alto (máximo) da parábola. A fórmula para encontrar a coordenada x do vértice é:
xv = -b2a
Aqui, a = 1 e b = -2 . Então:
xv = --22 times 1 = 22 = 1
Agora, substituímos xv na função para encontrar yv :
yv = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
Então, o vértice é (1, -4) .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de x para os quais f(x) = 0 . Resolveremos a equação quadrática:
x^2 - 2x - 3 = 0
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo a = 1 , b = -2 , e c = -3 :
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4(1)(-3)2(1) = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, temos duas raízes:
x = 2 + 42 = 3 e x = 2 - 42 = -1
Portanto, as raízes são x = 3 e x = -1 .

Passo 5

Agora, vamos determinar alguns pontos adicionais para ajudar no esboço do gráfico. Sabemos que o vértice é (1, -4) e as raízes são (-1, 0) e (3, 0) . Vamos calcular o valor de f(x) para alguns x próximos ao vértice para ter mais pontos:
Por exemplo, para x = 0 :
f(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3
Então, temos o ponto (0, -3) .
Para x = 2 :
f(2) = 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3
Então, temos o ponto (2, -3) .

Passo 6

Com todos esses pontos, podemos agora esboçar o gráfico da parábola:
  1. O vértice está em (1, -4) .
  2. As raízes estão em (-1, 0) e (3, 0) .
  3. Pontos adicionais em (0, -3) e (2, -3) .
  4. A parábola abre para cima.
Desenhando esses pontos e conectando-os em forma de uma curva simétrica, teremos o esboço do gráfico da função f(x) = x^2 - 2x - 3 .

Resposta

O gráfico da função f(x) = x^2 - 2x - 3 é uma parábola que abre para cima, com vértice em (1, -4) , raízes em (-1, 0) e (3, 0) , e passa pelos pontos (0, -3) e (2, -3) . O esboço deve refletir esses pontos e a forma simétrica típica de uma parábola.

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