Esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar o gráfico da função
. Isso faz parte do estudo de funções quadráticas, que são aquelas que têm a forma geral
. Para esboçar o gráfico, vamos precisar identificar alguns pontos-chave, como o vértice, as raízes e o comportamento da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é uma parábola, já que o termo de maior grau é
. O coeficiente de
é positivo, o que significa que a parábola abre para cima.
Passo 3
Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais baixo (mínimo) ou mais alto (máximo) da parábola. A fórmula para encontrar a coordenada
do vértice é:
Aqui,
e
. Então:
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Então, o vértice é
.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
para os quais
. Resolveremos a equação quadrática:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar Bhaskara:
Substituindo
,
, e
:
Então, temos duas raízes:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar alguns pontos adicionais para ajudar no esboço do gráfico. Sabemos que o vértice é
e as raízes são
e
. Vamos calcular o valor de
para alguns
próximos ao vértice para ter mais pontos:
Por exemplo, para
:
Então, temos o ponto
.
Para
:
Então, temos o ponto
.
Passo 6
Com todos esses pontos, podemos agora esboçar o gráfico da parábola:
- O vértice está em
. - As raízes estão em
e . - Pontos adicionais em
e . - A parábola abre para cima.
Desenhando esses pontos e conectando-os em forma de uma curva simétrica, teremos o esboço do gráfico da função
.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola que abre para cima, com vértice em
, raízes em
e
, e passa pelos pontos
e
. O esboço deve refletir esses pontos e a forma simétrica típica de uma parábola.