Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
Passo 1
O exercício pede para esboçar o gráfico de f(x)=sinh(x)+cosh(x), determinar seu domínio e imagem, verificar se é limitada e se possui extremos globais. O conteúdo envolve funções hiperbólicas e sua relação com a função exponencial.
Passo 2
Lembrando das definições de seno e cosseno hiperbólicos:
e
. Somando-as temos:
Passo 3
Como f(x)=e^x, fica claro que o domínio de f é o conjunto de todos os reais, isto é,
, pois a exponencial está definida para qualquer
.
Para a imagem, observamos que nunca é zero nem negativa, variando de valores arbitrariamente pequenos (próximos de zero quando
) até crescer sem limite (quando
). Assim a imagem é
.
Para a imagem, observamos que
Passo 4
O gráfico é o da função exponencial padrão: passa por
, tem assimptota horizontal
quando
e cresce rapidamente para
quando
.
Como a função nunca desce abaixo de zero, ela é limitada inferiormente (infimum 0) mas não alcança 0, então não há mínimo global. Não é limitada superiormente, logo não há máximo global.
Como a função nunca desce abaixo de zero, ela é limitada inferiormente (infimum 0) mas não alcança 0, então não há mínimo global. Não é limitada superiormente, logo não há máximo global.
Resposta
Domínio: ℝ
Imagem: (0, ∞)
Limitada inferiormente (por 0), não limitada superiormente
Não possui mínimo nem máximo globais
Imagem: (0, ∞)
Limitada inferiormente (por 0), não limitada superiormente
Não possui mínimo nem máximo globais