Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral dada.
integralpi / 6^pi / 3 4 sec ^2(y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integralpi/6^pi/3 4 sec^2(y) , dy usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas e aplicação do TFC, e precisaremos achar uma primitiva de 4sec^2(y).

Passo 2

Para encontrar a primitiva de 4sec^2(y), lembramos que ddytan(y)=sec^2(y). Assim:
integral 4 sec^2(y) , dy = 4 tan(y) + C

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo diz que para F primitiva de f:
integrala^b f(y),dy = F(b) - F(a)
Aplicando com F(y)=4tan(y), a=pi/6 e b=pi/3:
integralpi/6^pi/3 4 sec^2(y) , dy = 4tanl(tfracpi3r) - 4tanl(tfracpi6r)

Passo 4

Agora calculamos os valores das tangentes e simplificamos:
tanl(tfracpi3r)=raiz3, tanl(tfracpi6r)=tfrac1raiz3
Logo,
4l(raiz3 - tfrac1raiz3r) = 4 cdot tfrac2raiz3 = tfrac8raiz3 = tfrac8raiz33

Resposta

\tfrac{8\sqrt{3}}{3}

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