Esboce o gráfico das funções abaixo e determine o domínio e conjunto imagem.
f(x)=x+|x|

Passo 1

Temos a função f(x) = x + |x|, que envolve valor absoluto. Vamos precisar usar a definição de valor absoluto para reescrevê-la em forma piecewise e depois esboçar o gráfico e achar domínio e imagem.

Passo 2

Usando a definição de valor absoluto
|x|=x,&x>=0,-x,&x<0,
obtemos
$$
f(x)=x+|x|= f(x)=x+|x|=x+(-x)=0,&x<0,x+x=2x,&x>=0
$$
Isso mostra que para x<0 a função vale zero e para x>=0 é a reta de coeficiente angular 2.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, desenhamos um segmento horizontal em y=0 para toda a parte x<0. No ponto x=0 temos f(0)=0. Para x>=0 a curva é a reta y=2x, que passa pela origem e cresce com inclinação 2.

Passo 4

O domínio são todos os valores de x para os quais a função está definida. Como soma e valor absoluto estão definidos para todo real, o domínio é R. A imagem é o conjunto de valores y assumidos: na parte negativa y=0 e para x>=0 temos y=2x>=0, ou seja, todos os y>=0.

Resposta

Domínio: R. Conjunto imagem: [0,infty). O gráfico é um segmento horizontal em y=0 para x<0 e, para x>=0, a reta y=2x passando pela origem.

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