Questão 1: (Valor - 1,0 cada item) Seja
a região no plano limitada pelas curvas
e
. Determine uma expressão, através de integral, que permite calcular o volume (Observação: não é necessário resolver a integral):
do sólido que tem por base a região
e cujas seções planas por planos perpendiculares ao eixo Ox são triângulos eqüiláteros, todas situados em um mesmo subespaço em relação ao plano da base, cada uma deles tendo um lado apoiado em Re e com vértices nas extremidades do contorno de R .
do sólido que tem por base a região
Passo 1
O enunciado pede o volume de um sólido cuja base é a região R limitada pelas curvas y=4x−x² e y=8x−2x², e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo Ox são triângulos eqüiláteros com lado apoiado na base R.
Passo 2
Para achar os limites de integração, igualamos as curvas:
Isso leva a x(x−4)=0, ou seja, x=0 e x=4.
Passo 3
Em cada x, o lado do triângulo eqüilátero vale a distância vertical entre as curvas:
Passo 4
A área de um triângulo eqüilátero de lado s é
Passo 5
O volume do sólido é a integral da área das seções em x de 0 até 4: