Seja f(x)=1 /(1-x). Mostre que f(f(f(x)))=x para x neq 0, x neq 1.

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=11-x e pede para mostrar que a composição tripla f(f(f(x))) retorna x, considerando as restrições de domínio xneq0 e xneq1. Vamos usar composição de funções e simplificar as frações passo a passo.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(f(x)). Seja y=f(x)=11-x. Então
f(f(x))=f(y)=11-y=11-11-x

Passo 3

Dentro do denominador, faça a subtração de frações:
1-11-x=(1-x)-11-x=-x1-x

Passo 4

Logo,
f(f(x))=1-x1-x=1-x-x=-1-xx

Passo 5

Agora, calculamos f(f(f(x))) usando o resultado anterior. Seja z=f(f(x))=-tfrac1-xx. Então
f(f(f(x)))=f(z)=11-z=11-l(-1-xxr)=11+1-xx

Passo 6

Some o termo no denominador:
1+1-xx=x+(1-x)x=1x

Passo 7

Portanto,
f(f(f(x)))=11x=x,
valendo para xneq0 e xneq1 de modo a manter todos os denominadores bem definidos.

Resposta

f(f(f(x)))=x, para xneq0 e xneq1.

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