Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo:
ccx^3-xraizx-1, & se x>1 1, & se x <= 1

Passo 1

O enunciado pede pra ver se a função é contínua e derivável em x0=1. O conteúdo principal aqui é verificar o limite à direita, comparar com o valor em x=1 e, se der continuidade, checar a derivada lateral.

Passo 2

Para calcular o limite à direita limxto1^+f(x), escrevemos
f(x)=x^3-xraizx-1=x(x^2-1)raizx-1=x(x-1)(x+1)raizx-1=x(x+1)raizx-1
Como xto1^+, temos x(x+1)to2 e raizx-1to0^+, logo
limxto1^+f(x)=2cdot0=0

Passo 3

O valor da função à esquerda de 1 e em 1 é f(1)=1. Como o limite pela direita =0 é diferente de f(1)=1, concluímos que não há continuidade em x=1.

Passo 4

Se não há continuidade em x=1, automaticamente não pode haver derivada ali, pois derivabilidade implica continuidade.

Resposta

A função não é contínua em x0=1, e portanto também não é derivável nesse ponto.

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