Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
3.
f(t)=(x^2+x)^4(t^2+t+1)^7

Passo 1

O enunciado pede para derivar em relação a t a função
f(t)=(x^2+x)^4(t^2+t+1)^7
Conteúdo: regra da cadeia para funções potenciais e derivada de potência de função composta, além de identificar constantes em relação a t.

Passo 2

Primeiro, observe que (x^2+x)^4 é constante em relação a t. Reescrevemos f isolando a parte dependente de t como potência:
f(t)=(x^2+x)^4,(t^2+t+1)^-7

Passo 3

Como (x^2+x)^4 é constante, usamos o fato de que a derivada de C,g(t) é C,g'(t). Logo:
f'(t)=(x^2+x)^4cdotddtl[(t^2+t+1)^-7]

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia à função (t^2+t+1)^-7. Seja u(t)=t^2+t+1, então temos:
ddtl[u(t)^-7r]=-7,u(t)^-8cdot u'(t)

Passo 5

Agora calculamos u'(t). Como u(t)=t^2+t+1, sua derivada é:
u'(t)=2t+1

Passo 6

Substituindo de volta em f'(t) obtém-se:
f'(t)=(x^2+x)^4cdotl[-7,u(t)^-8cdot(2t+1)r]
Lembrando que u(t)=t^2+t+1, ficamos com a forma simplificada:

Passo 7

Simplificando a expressão elevado a potência negativa em denominador, chegamos a:
f'(t)=-7,(2t+1),(x^2+x)^4(t^2+t+1)^8

Resposta

f'(t)=-7(2t+1)(x^2+x)^4(t^2+t+1)^8

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