Faça o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo é transformação de uma função exponencial básica
. Vamos usar propriedades de domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade e concavidade para desenhar o gráfico.
Passo 2
Determinar domínio e imagem.
– O domínio de é todo
porque
está definido para todo
.
– Como varia em
, segue que
– O domínio de
– Como
Passo 3
Calcular interceptos com os eixos.
– Intercepto em (quando
):
– Intercepto em
logo o ponto
.
– Intercepto em (quando
) dá a mesma equação
, de onde
. Portanto o único intercepto é
.
– Intercepto em
Passo 4
Encontrar assíntota horizontal.
– Para ,
, então
– Para
Assim há uma assíntota horizontal
à esquerda.
– Para ,
e
, sem outra assíntota.
– Para
Passo 5
Analisar monotonicidade.
Como
para todo
, temos
em
. Logo
é estritamente decrescente em todo o domínio.
Passo 6
Analisar concavidade.
Portanto o gráfico é sempre côncavo para baixo.
Passo 7
Obter alguns pontos para esboço:
– :
.
– :
.
–
–
Resposta
O gráfico de
é uma curva decrescente, sempre côncava para baixo, que:
- Aproxima-se da reta horizontal
quando . - Passa por
. - Cai indefinidamente para
quando .
Para desenhar, trace a assíntota, marque os pontos , , e una-os respeitando a forma exponencial invertida e côncava para baixo.