(a) Esboce o gráfico das funções definidas abaixo.
(b) Determine os conjuntos domínio e imagem de cada função.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
(a) um esboço do gráfico, e
(b) os conjuntos domínio e imagem.
O conteúdo é análise de funções definidas por valor absoluto, que transformamos em forma por partes e depois estudamos cada trecho para desenhar o gráfico e extrair domínio e imagem.
Passo 2
Para eliminar o valor absoluto, analisamos o sinal de :
– Se (isto é, ), então e
– Se (isto é, ), então e
Logo, em forma por partes:
Passo 3
Esboço do gráfico:
– Para x< -2, f(x)=-3 é uma reta horizontal.
– Em x=-2, f(-2)=2(-2)+1=-4+1=-3, o que garante continuidade.
– Para x>=-2, f(x)=2x+1 é uma reta de inclinação 2, cortando o eixo y em 1.
No esboço, temos uma linha horizontal em y=-3 até x=-2, e a partir de x=-2 parte uma reta oblíqua subindo com coeficiente angular 2.
Passo 4
Domínio: como |x+2| e x-1 estão definidos para todo xinR,
Dom(f)=R
Passo 5
Imagem:
– No trecho x< -2, f(x)=-3.
– No trecho x>=-2, f(x)=2x+1 cresce sem limite superior e em x=-2 vale -3.
Portanto o menor valor de f é -3 (atingido em todos x<=-2) e não há teto. Logo
Im(f)=[-3,infty)
Resposta
(a) Gráfico: reta horizontal em y=-3 para x< -2, contínua em (-2,-3), e reta de equação y=2x+1 para x>=-2.
(b) Dom(f)=R, Im(f)=[-3,infty).