(a) Esboce o gráfico das funções definidas abaixo.
(b) Determine os conjuntos domínio e imagem de cada função.
f(x)=|2-3 x|

Passo 1

O enunciado pede (a) o esboço do gráfico de f(x)=|2-3x| e (b) os conjuntos domínio e imagem dessa função. Vamos usar a definição de valor absoluto e a ideia de função “piecewise” para reescrever e desenhar o gráfico, depois extrair domínio e imagem.

Passo 2

Reescrevemos f em forma de “piecewise”, analisando o sinal de 2-3x:
f(x)=|2-3x| = 2-3x, & se 2-3x>=0iff x<= tfrac23, -(2-3x)=3x-2, & se 2-3x<0iff x>tfrac23

Passo 3

Para esboçar o gráfico, note que há duas retas que se encontram no ponto onde 2-3x=0, isto é, em x=tfrac23:
  • Para x<=tfrac23, f(x)=2-3x é uma reta decrescente com coeficiente angular -3 e intercepto em y=2.
  • Para x>=tfrac23, f(x)=3x-2 é uma reta crescente com coeficiente angular 3 e intercepto em y=-2 (mas só válida a partir de x=tfrac23).
    Elas se encontram em l(tfrac23,0r), formando um “V” cujo vértice é esse ponto.

Passo 4

Como valor absoluto está definido para todo xinR, o domínio de f é
Dom(f)=R

Passo 5

O valor mínimo de f é 0 (no vértice) e, à medida que |x|toinfty, |2-3x|toinfty. Logo a imagem é
Im(f)=[0,infty)

Resposta

Domínio: R
Imagem: [0,infty)

Exercícios relacionados