Simplifique as expressões, indicando a restrição sobre x para ser possível a simplificação:
2 x^2+11 x-21x^3+2 x^2+4 x cdot x^3-8x^2+5 x-14

Passo 1

Beleza, vamos simplificar essa expressão algébrica:
2x^2 + 11x - 21x^3 + 2x^2 + 4x cdot x^3 - 8x^2 + 5x - 14
Aqui, vamos precisar fatorar os polinômios no numerador e denominador para identificar e cancelar termos semelhantes. Também precisamos encontrar as restrições sobre x para que nenhum denominador seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar cada polinômio.
Fatorando 2x^2 + 11x - 21 :
Procuramos dois números que multiplicados dêem 2 times (-21) = -42 e somados dêem 11 . Esses números são 14 e -3 .
2x^2 + 14x - 3x - 21 = (2x^2 + 14x) + (-3x - 21) = 2x(x + 7) - 3(x + 7) = (2x - 3)(x + 7)
Fatorando x^3 + 2x^2 + 4x :
Podemos fatorar um x em comum:
x^3 + 2x^2 + 4x = x(x^2 + 2x + 4)
O polinômio x^2 + 2x + 4 não pode ser fatorado facilmente com números inteiros.
Fatorando x^3 - 8 :
Isso é uma diferença de cubos, que segue a fórmula a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) :
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Fatorando x^2 + 5x - 14 :
Procuramos dois números que multiplicados dêem -14 e somados dêem 5 . Esses números são 7 e -2 .
x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)

Passo 3

Agora, substituímos os polinômios fatorados na expressão original:
(2x - 3)(x + 7)x(x^2 + 2x + 4) cdot (x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 7)(x - 2)

Passo 4

Vamos agora cancelar os termos que aparecem tanto no numerador quanto no denominador:
  • (x + 7) aparece no numerador e no denominador.
  • (x - 2) aparece no numerador e no denominador.
  • (x^2 + 2x + 4) aparece no numerador e no denominador.
Após cancelar, sobra:
2x - 3x

Passo 5

Agora, precisamos indicar as restrições sobre x . As restrições vêm dos denominadores originais que não podem ser zero:
  1. x = 0 (do denominador x )
  2. x^2 + 2x + 4 = 0 → Não tem solução real, então não afeta as restrições reais.
  3. x + 7 = 0 x = -7
  4. x - 2 = 0 x = 2
Então, x não pode ser igual a 0 , -7 ou 2 .

Resposta

A expressão simplificada é 2x - 3x , com x neq 0 , x neq -7 e x neq 2 .

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