Potências:
Simplifique \frac{5^{\frac{-1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{\frac{-3}{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{5^{-\frac12}\cdot5^{\frac13}}{5^{\frac25}\cdot5^{-\frac32}}.
Aqui vamos usar as propriedades de potências: em produtos de mesma base somam-se os expoentes e em quocientes subtraem-se os expoentes.

Passo 2

Calcular o expoente resultante no numerador, somando -\tfrac12 e \tfrac13:
-\tfrac12 + \tfrac13 = -\tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{6} = -\tfrac16.
Logo o numerador vira 5^{-\tfrac16}.

Passo 3

Calcular o expoente resultante no denominador, somando \tfrac25 e -\tfrac32:
\tfrac25 + \bigl(-\tfrac32\bigr) = \tfrac{4}{10} - \tfrac{15}{10} = -\tfrac{11}{10}.
Logo o denominador vira 5^{-\tfrac{11}{10}}.

Passo 4

Usar a regra de divisão de potências de mesma base, subtraindo os expoentes:
\frac{5^{-\tfrac16}}{5^{-\tfrac{11}{10}}} =5^{-\tfrac16 -\bigl(-\tfrac{11}{10}\bigr)}.

Passo 5

Calcular a soma de expoentes
-\tfrac16 + \tfrac{11}{10} = -\tfrac{5}{30} + \tfrac{33}{30} = \tfrac{28}{30} = \tfrac{14}{15}.
Portanto a expressão simplificada é 5^{\tfrac{14}{15}}.

Resposta

5^{\tfrac{14}{15}}

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