Esboce o gráfico das funções exponenciais.
y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função exponencial
y = \bigl(\tfrac12\bigr)^{x}.
Este é um caso de função exponencial com base a=\tfrac12, portanto 0<a<1. Vamos precisar conhecer o domínio, imagem, alguns pontos notáveis, o comportamento assintótico e a monotonicidade para desenhar o gráfico.

Passo 2

Determinar domínio e imagem:
– O domínio de toda função exponencial é
\{x\in\mathbb{R}\}.
– A imagem de y = a^{x} com a>0 é
\{y>0\}.
Logo, domínio (-\infty,\infty) e imagem (0,\infty).

Passo 3

Calcular pontos-chave:
\begin{aligned} x=0&\implies y=\bigl(\tfrac12\bigr)^{0}=1,\\\ x=1&\implies y=\bigl(\tfrac12\bigr)^{1}=\tfrac12,\\\ x=2&\implies y=\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}=\tfrac14,\\\ x=-1&\implies y=\bigl(\tfrac12\bigr)^{-1}=2,\\\ x=-2&\implies y=\bigl(\tfrac12\bigr)^{-2}=4. \end{aligned}
Esses pontos orientarão o esboço.

Passo 4

Analisar monotonicidade e derivada:
f(x)=\bigl(\tfrac12\bigr)^{x} \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\bigl(\tfrac12\bigr)^{x}\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr).
Como \ln(\tfrac12)<0 e \bigl(\tfrac12\bigr)^{x}>0, temos f'(x)<0 para todo x. Logo, f é estritamente decrescente.

Passo 5

Determinar assíntota horizontal:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\tfrac12\bigr)^{x}=0,
portanto a reta y=0 (eixo x) é assíntota horizontal por cima. Para x\to -\infty, y\to+\infty.

Passo 6

Esboçar o gráfico:
– Marcar os pontos (-2,4),(-1,2),(0,1),(1,\tfrac12),(2,\tfrac14).
– Desenhar curva que passa por eles, decresce suavemente, aproximando-se de y=0 quando x\to+\infty e crescendo sem limite para x\to-\infty.
– Traçar a assíntota horizontal y=0 com linha pontilhada.

Resposta

O gráfico de y=(\tfrac12)^{x} é uma curva estritamente decrescente que:
– Interseca o eixo y em (0,1).
– Passa por (1,\tfrac12) e (-1,2).
– Tem assíntota horizontal y=0 para x\to+\infty e cresce sem limite para x\to -\infty.

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