(2,0 pontos). Encontre a função comprimento de arco para a curva y=x^{2}-\frac{1}{8} \ln x tomando P_{0}(1,1) como ponto inicial. Nestes termos, determine o comprimento de arco da curva ao longo de (1,1) a (3, y(3)) ?

Passo 1

O enunciado pede a função comprimento de arco para a curva
y = x^{2} - \frac{1}{8}\ln x
tomando como ponto inicial P_{0}(1,1), e em seguida o comprimento de arco de (1,1) a \bigl(3,y(3)\bigr). Para isso precisamos usar a fórmula
s(x) = \int_{x_{0}}^{x} \sqrt{1+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt
com x_{0}=1, além de calcular y'(x) e simplificar a raiz.

Passo 2

Calcular a derivada de y:
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(x^{2}\Bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{8}\ln x\Bigr) = 2x \;-\;\frac{1}{8x}.

Passo 3

Montar o integrando e simplificar:
1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2} = 1 + \Bigl(2x - \tfrac{1}{8x}\Bigr)^{2} = \Bigl(2x + \tfrac{1}{8x}\Bigr)^{2},
portanto, para x>0,
\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}} = 2x + \frac{1}{8x}.

Passo 4

Integrar de 1 até x impondo s(1)=0:
s(x) = \int_{1}^{x}\Bigl(2t + \tfrac{1}{8t}\Bigr)\,dt = \left[t^{2} + \tfrac{1}{8}\ln t\right]_{1}^{x} = x^{2} + \frac{1}{8}\ln x \;-\;1.

Resposta

A função comprimento de arco é
s(x) = x^{2} + \frac{1}{8}\ln x - 1.
O comprimento de arco de (1,1) a \bigl(3,y(3)\bigr) vale
s(3) = 3^{2} + \frac{1}{8}\ln 3 - 1 = 8 + \frac{1}{8}\ln 3.

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