( 2,0 pontos). Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é x^{2}+y^{2}-4 x=0. Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas cartesianas
x^{2} + y^{2} - 4x = 0
e pede a equação em coordenadas polares e o esboço do gráfico. Vamos usar a conversão
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta é o ângulo polar.

Passo 2

Substituímos x e y na equação original:
(r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} - 4\,(r\cos\theta) = 0.
Como (r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = r^{2}(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta) = r^{2}, a equação fica
r^{2} - 4r\cos\theta = 0.

Passo 3

Colocando em evidência r, obtemos
r\bigl(r - 4\cos\theta\bigr) = 0.
Dessa forma, ou r = 0 (ponto trivial na origem) ou
r = 4\cos\theta.

Passo 4

A solução não trivial é
r = 4\cos\theta,
que, para \cos\theta\ge0 (isto é, \theta\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]), descreve um círculo de raio 2 centrado em (2,0). Esse círculo passa pela origem e tem diâmetro de 0 até (4,0).

Passo 5

Para esboçar: trace o eixo polar (reta horizontal). O círculo de centro (2,0) e raio 2 intercepta o eixo no ponto de origem e em (4,0). Em ângulos \theta=\pm\tfrac\pi2, r=0, de modo que ele “fecha” na origem.

Resposta

A equação polar é
r = 4\cos\theta,
que representa um círculo de raio 2 centrado em (2,0), limitado a \theta\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2].

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