Problema 74 Construa os gráficos das funções:
y=x^3-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede construir o gráfico da função cúbica
y = x^3 - 3x + 2
Para esboçar precisamos encontrar interceptos com os eixos, derivadas para extremos e ponto de inflexão, além do comportamento quando xtopminfty.

Passo 2

Interceptos:
– Intercepto em y: basta x=0, então
f(0)=2,
logo o ponto (0,2).
– Interceptos em x: resolver
x^3 - 3x + 2 = 0
Testando x=1 dá zero; fazendo divisão sintética ou fatoração obtém-se
x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2),
logo as raízes são x=1 (multiplicidade 2) e x=-2, ou seja, pontos (1,0) e (-2,0).

Passo 3

Derivada primeira:
f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)
Zera em x=-1 e x=1. Avaliando:
f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=4, f(1)=1-3+2=0

Passo 4

Sinal de f':
– Para x<-1, f'>0 (a curva cresce).
– Para -1<x<1, f'<0 (decresce).
– Para x>1, f'>0 (cresce).
Logo em x=-1máximo local em (-1,4) e em x=1 mínimo local em (1,0).
Segunda derivada e inflexão:
f''(x)=6x,
que zera em x=0, com f(0)=2. Portanto ponto de inflexão em (0,2).

Passo 5

Comportamento assintótico:
xto -inftyimplies yto -infty, xto +inftyimplies yto +infty
Agora juntamos interceptos, extremos, inflexão e monotonia para esboçar a curva:
– Cresce de -infty até (-1,4),
– Cai de (-1,4) até (1,0),
– Sobe de (1,0) até +infty,
passando pelo ponto de inflexão (0,2) e tocando o eixo x em (1,0) (raiz dupla) e (-2,0).

Resposta

Interceptos e pontos notáveis:
  • y-intercepto: (0,2)
  • x-interceptos: (-2,0) e (1,0) (raiz dupla)
  • Máximo local: (-1,4)
  • Mínimo local: (1,0)
  • Ponto de inflexão: (0,2)
Monotonia:
  • Cresce em (-infty,-1),
  • Decresce em (-1,1),
  • Cresce em (1,infty).
Com isso, basta desenhar uma cúbica que passa por esses pontos e obedece esse padrão de monotonia.

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