Problema 74 Construa os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado pede construir o gráfico da função cúbica
Para esboçar precisamos encontrar interceptos com os eixos, derivadas para extremos e ponto de inflexão, além do comportamento quando
.
Passo 2
Interceptos:
– Intercepto em : basta
, então
– Intercepto em
logo o ponto
.
– Interceptos em : resolver
– Interceptos em
Testando
dá zero; fazendo divisão sintética ou fatoração obtém-se
logo as raízes são
(multiplicidade 2) e
, ou seja, pontos
e
.
Passo 3
Derivada primeira:
Zera em
e
. Avaliando:
Passo 4
Sinal de
:
– Para ,
(a curva cresce).
– Para ,
(decresce).
– Para ,
(cresce).
Logo em há máximo local em
e em
mínimo local em
.
– Para
– Para
– Para
Logo em
Segunda derivada e inflexão:
que zera em
, com
. Portanto ponto de inflexão em
.
Passo 5
Comportamento assintótico:
Agora juntamos interceptos, extremos, inflexão e monotonia para esboçar a curva:
– Cresce de até
,
– Cai de até
,
– Sobe de até
,
passando pelo ponto de inflexão e tocando o eixo
em
(raiz dupla) e
.
– Cresce de
– Cai de
– Sobe de
passando pelo ponto de inflexão
Resposta
Interceptos e pontos notáveis:
-
-intercepto: -
-interceptos: e (raiz dupla) - Máximo local:
- Mínimo local:
- Ponto de inflexão:
Monotonia:
- Cresce em
, - Decresce em
, - Cresce em
.
Com isso, basta desenhar uma cúbica que passa por esses pontos e obedece esse padrão de monotonia.