Esboçe o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
.
Informações que o enunciado dá e que são relevantes:
- A função é
definida por . - O domínio é
(todos os pares ). - A função não depende de
; depende só de . - O valor de
está sempre entre e , isto é, o contradomínio efetivo (imagem) é o intervalo .
O que é pedido:
- Fazer um esboço (gráfico) da superfície correspondente a
em .
Passo 2
Entender como interpretar o gráfico em 3D: represente o espaço com os eixos
(horizontal),
(horizontal perpendicular) e
(vertical). Cada ponto do gráfico tem coordenadas
com
Como
não depende de
, para cada valor fixo de
o valor de
é o mesmo para todos os
. Em palavras simples: a curva
no plano
-fixo é “esticada” (extrudada) paralelamente ao eixo
. Assim o gráfico é uma superfície formada por uma série de cristas e vales que correm paralelas ao eixo
.
Passo 3
Identificar características importantes da função para desenhar corretamente:
- Amplitude: os valores de
variam entre e . - Período em
: . Ou seja, a forma se repete a cada deslocamento . - Máximos e mínimos:
- Zeros (onde a superfície cruza o plano
):
Use essas posições para marcar cristas (topos), vales (fundos) e pontos de passagem pela altura zero no esboço.
Passo 4
Analisar cortes e curvas de nível (útil para desenhar projeções e entender forma):
- Corte por plano
(fixando ): obtém-se a curva no plano dada por que é a onda de cosseno usual. Isso significa que qualquer seção paralela ao plano é a mesma onda. - Corte por plano
(fixando ): obtém-se a reta horizontal (paralela ao eixo ) com coordenada . Ou seja, ao longo de a superfície é constante. - Curvas de nível (contornos) para um valor
: que, projetadas no plano , são conjuntos de retas verticais (linhas paralelas ao eixo ) localizadas nos indicados.
Passo 5
Derivadas e pontos críticos (para saber inclinações e onde aparecem cristas/vales):
- Gradiente:
Isso diz que a inclinação máxima está na direção do eixo ; não há variação na direção . - Pontos críticos em relação a
ocorrem quando , i.e. Comportamento nesses pontos: - Para
tem máximo local . - Para
tem mínimo local .
- Para
Passo 6
Como desenhar passo a passo no papel (técnica prática de esboço):
- Desenhe três eixos:
à direita, saindo/para dentro do papel (ou para a direita em perspectiva) e para cima. - No plano
- (ignorando momentaneamente), desenhe uma onda : marque pontos importantes em com alturas correspondentes conforme a tabela de cosseno; trace a curva suave periódica com amplitude e período . - Agora imagine que essa curva foi esticada (extrudada) para fora do plano em direções paralelas ao eixo
: desenhe várias cópias da mesma curva deslocadas ao longo do eixo (traços paralelos), ou desenhe a curva e acrescente linhas paralelas ao eixo ligando pontos correspondentes para sugerir a superfície contínua. - Realce as cristas (linhas onde
) e os vales ( ) como duas séries de linhas arredondadas paralelas ao eixo . Entre elas terá o meio-termo em posições onde . - Na projeção sobre o plano
, marque as faixas verticais (linhas paralelas ao ) correspondentes aos máximos, mínimos e contornos de interesse para ajudar a visualizar a repetição.
Dica rápida: pense numa “telha ondulada” ou num “telhado corrugado” que se estende paralelamente ao eixo
; isso ajuda a visualizar e a desenhar rápido.
Passo 7
Resumo visual mental para o esboço (o que o examinador espera ver):
- Uma superfície periódica em
com cristas e vales regulares. - As cristas e vales são retas curvas que se estendem paralelas ao eixo
. - Marcações de pelo menos um período
em com pontos , e . - Indicação explícita do eixo
mostrando que a superfície é invariante ao longo desse eixo (constante em ).
Passo 8
Algumas observações úteis para a prova (motivação e segurança):
- Se ficar sem tempo, basta desenhar a curva
no plano e desenhar duas ou três linhas paralelas ao eixo para indicar que a curva foi extrudada — o avaliador entenderá que a superfície é essa. - Diga no enunciado do desenho (se possível escrever) que a superfície é a extrusão da curva
ao longo do eixo ; isso vale pontos se o desenho for simples.
Resposta
A superfície em
obtida ao extrudar a curva
ao longo do eixo
: uma onda de cosseno periódica em
(período
, amplitude
) constante em
, com cristas em
(
) e vales em
(
), estendendo-se indefinidamente ao longo de
.