Esboçe o gráfico das funções a seguir:
f(x, y)=\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x,y)=\cos(x).
Informações que o enunciado dá e que são relevantes:
  • A função é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=\cos(x).
  • O domínio é \mathbb{R}^2 (todos os pares (x,y)).
  • A função não depende de y; depende só de x.
  • O valor de f está sempre entre -1 e 1, isto é, o contradomínio efetivo (imagem) é o intervalo [-1,1].
O que é pedido:
  • Fazer um esboço (gráfico) da superfície correspondente a z=f(x,y)=\cos(x) em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Entender como interpretar o gráfico em 3D: represente o espaço com os eixos x (horizontal), y (horizontal perpendicular) e z (vertical). Cada ponto do gráfico tem coordenadas (x,y,z) com
z=\cos(x).
Como z não depende de y, para cada valor fixo de x o valor de z é o mesmo para todos os y. Em palavras simples: a curva z=\cos(x) no plano xy-fixo é “esticada” (extrudada) paralelamente ao eixo y. Assim o gráfico é uma superfície formada por uma série de cristas e vales que correm paralelas ao eixo y.

Passo 3

Identificar características importantes da função para desenhar corretamente:
  • Amplitude: os valores de z variam entre -1 e 1.
  • Período em x: 2\pi. Ou seja, a forma se repete a cada deslocamento \Delta x=2\pi.
  • Máximos e mínimos: \text{máximos em } x=2\pi k,\quad z=1,\quad k\in\mathbb{Z}.á
\text{mínimos em } x=(2k+1)\pi,\quad z=-1,\quad k\in\mathbb{Z}.í
  • Zeros (onde a superfície cruza o plano z=0): x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Use essas posições para marcar cristas (topos), vales (fundos) e pontos de passagem pela altura zero no esboço.

Passo 4

Analisar cortes e curvas de nível (útil para desenhar projeções e entender forma):
  • Corte por plano y=y_0 (fixando y): obtém-se a curva no plano xz dada por z=\cos(x),que é a onda de cosseno usual. Isso significa que qualquer seção paralela ao plano xz é a mesma onda.
  • Corte por plano x=x_0 (fixando x): obtém-se a reta horizontal (paralela ao eixo y) com coordenada z=\cos(x_0). Ou seja, ao longo de y a superfície é constante.
  • Curvas de nível (contornos) para um valor c\in[-1,1]: \{(x,y)\mid \cos(x)=c\}=\{(x,y)\mid x=\operatorname{arccos}\text{(c)}+2\pi k \text{ ou } x=-\operatorname{arccos}\text{(c)}+2\pi k,\\ k\in\mathbb{Z}\},que, projetadas no plano xy, são conjuntos de retas verticais (linhas paralelas ao eixo y) localizadas nos x indicados.

Passo 5

Derivadas e pontos críticos (para saber inclinações e onde aparecem cristas/vales):
  • Gradiente: \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(-\sin(x),\,0).Isso diz que a inclinação máxima está na direção do eixo x; não há variação na direção y.
  • Pontos críticos em relação a x ocorrem quando -\sin(x)=0, i.e. x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.Comportamento nesses pontos:
    • Para x=2\pi k tem máximo local z=1.
    • Para x=(2k+1)\pi tem mínimo local z=-1.

Passo 6

Como desenhar passo a passo no papel (técnica prática de esboço):
  1. Desenhe três eixos: x à direita, y saindo/para dentro do papel (ou para a direita em perspectiva) e z para cima.
  2. No plano x- z (ignorando y momentaneamente), desenhe uma onda z=\cos(x): marque pontos importantes em x=-2\pi,-\pi,-\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi,2\pi com alturas correspondentes -1,0,1 conforme a tabela de cosseno; trace a curva suave periódica com amplitude 1 e período 2\pi.
  3. Agora imagine que essa curva foi esticada (extrudada) para fora do plano em direções paralelas ao eixo y: desenhe várias cópias da mesma curva deslocadas ao longo do eixo y (traços paralelos), ou desenhe a curva e acrescente linhas paralelas ao eixo y ligando pontos correspondentes para sugerir a superfície contínua.
  4. Realce as cristas (linhas onde z=1) e os vales ( z=-1) como duas séries de linhas arredondadas paralelas ao eixo y. Entre elas terá o meio-termo z=0 em posições onde x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  5. Na projeção sobre o plano xy, marque as faixas verticais (linhas paralelas ao y) correspondentes aos máximos, mínimos e contornos de interesse para ajudar a visualizar a repetição.
Dica rápida: pense numa “telha ondulada” ou num “telhado corrugado” que se estende paralelamente ao eixo y; isso ajuda a visualizar e a desenhar rápido.

Passo 7

Resumo visual mental para o esboço (o que o examinador espera ver):
  • Uma superfície periódica em x com cristas e vales regulares.
  • As cristas e vales são retas curvas que se estendem paralelas ao eixo y.
  • Marcações de pelo menos um período 2\pi em x com pontos z=1, z=0 e z=-1.
  • Indicação explícita do eixo y mostrando que a superfície é invariante ao longo desse eixo (constante em y).

Passo 8

Algumas observações úteis para a prova (motivação e segurança):
  • Se ficar sem tempo, basta desenhar a curva z=\cos(x) no plano xz e desenhar duas ou três linhas paralelas ao eixo y para indicar que a curva foi extrudada — o avaliador entenderá que a superfície é essa.
  • Diga no enunciado do desenho (se possível escrever) que a superfície é a extrusão da curva z=\cos(x) ao longo do eixo y; isso vale pontos se o desenho for simples.

Resposta

A superfície em \mathbb{R}^3 obtida ao extrudar a curva z=\cos(x) ao longo do eixo y: uma onda de cosseno periódica em x (período 2\pi, amplitude 1) constante em y, com cristas em x=2\pi k ( z=1) e vales em x=(2k+1)\pi ( z=-1), estendendo-se indefinidamente ao longo de y.

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