Esboçe o gráfico das funções a seguir: f(x, y)=3-x^{2}-y^{2}
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x,y)=3-x^{2}-y^{2}.
Informações que temos e o que precisa ser obtido para desenhar o esboço:
A função é definida por f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=3-x^{2}-y^{2}.
O que se pede: representar geometricamente a superfície z=f(x,y) no espaço (x,y,z).
Para fazer o esboço vamos precisar identificar: domínio, imagem (intervalo de valores de z), pontos especiais (vértice, interceptos), curvas de nível e seções transversais (cortes por planos como y=0, x=0 ou z= constante).
Passo 2
Domínio e imagem (intervalo de valores de z) — por partes, bem mastigado.
O termo x^{2}+y^{2} é sempre maior ou igual a zero para quaisquer x,y\in\mathbb{R}. Logo 3-x^{2}-y^{2}\le 3.
Portanto o maior valor que z pode assumir é 3. Valores menores não têm limite inferior (podem ficar arbitrariamente negativos) porque x^{2}+y^{2} pode crescer sem limite.
Ponto crítico e tipo (vértice da superfície). Vou calcular o gradiente e o Hessiano — explico o que cada coisa significa.
O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais; é zero nos pontos críticos (candidatos a máximo, mínimo ou sela):\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(-2x,-2y).Assim o único ponto em que \nabla f= (0,0) é (x,y)=(0,0).
O Hessiano é a matriz das segundas derivadas; serve para classificar o ponto crítico:H_f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.Essa matriz tem autovalores -2 e -2 (ambos negativos), ou seja o Hessiano é negativo definido — isso significa que o ponto crítico é um máximo local (na verdade máximo global, visto a forma da função).
Valor no ponto (0,0):f(0,0)=3-0-0=3.Conclusão: o vértice (ponto mais alto) da superfície é (0,0,3).]
Passo 4
Curvas de nível — como elas ajudam a esboçar o gráfico.
Curvas de nível são interseções da superfície com planos horizontais z=c. Para um número fixo c tem-se:c = 3 - x^{2} - y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=3-c.
Interpretação:
Se c<3 então 3-c>0 e a equação é um círculo de raio \sqrt{3-c} no plano z=c.
Se c=3 a curva de nível é o ponto (0,0,3).
Se c>3 não há pontos (conjunto vazio), pois não se pode ter x^{2}+y^{2}<0.
Exemplos numéricos úteis para desenhar:\begin{aligned} c=3&\Rightarrow\text{raio }0\\ (\text{somente }(0,0,3)),\\\ c=2&\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1\\ (\text{círculo de raio }1),\\\ c=0&\Rightarrow x^{2}+y^{2}=3\\ (\text{círculo de raio }\sqrt{3}),\\\ c=-1&\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4\\ (\text{círculo de raio }2). \end{aligned}ííí
Isso mostra que, ao descer em z, as curvas de nível são círculos cada vez maiores: a superfície é simétrica em torno do eixo z e “cai” para baixo de forma radial.
Passo 5
Seções transversais (cortes por planos verticais) — ajudam a perceber a forma em “fatias”.
Corte por y=0: restringindo y=0 tem-sez = f(x,0)=3-x^{2},que é uma parábola no plano y=0 (plano xz): vértice em (0,0,3) e abre para baixo.
Corte por x=0: restringindo x=0 tem-sez = f(0,y)=3-y^{2},que é a mesma parábola girada, no plano x=0 (plano yz).
Qualquer corte por plano que passe pela origem com ângulo qualquer resultará numa parábola idêntica (mesma concavidade), porque a função é radial em x,y.
Passo 6
Representação em coordenadas polares — atalho bonito e prático.
Em coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temosz = 3 - r^{2}.Isso mostra de forma clara que a superfície depende apenas de r, não de \theta: é uma superfície de revolução em torno do eixo z. Para cada raio r temos a altura z=3-r^{2}. Quando r cresce, z decresce quadráticamente.
Passo 7
Pontos de interseção com planos coordenados (valores fáceis para marcar no desenho).
Interseção com eixo z: quando x=0 e y=0 tem-se z=3. Ponto (0,0,3).
Interseção com o plano z=0: solução de 0=3-x^{2}-y^{2}\Rightarrow x^{2}+y^{2}=3. Isso é o círculo de raio \sqrt{3} no plano z=0. Portanto os interceptos com os eixos x e y quando z=0 são (\pm\sqrt{3},0,0) e (0,\pm\sqrt{3},0).
Não há interseções com planos z>3.
Passo 8
Como esboçar à mão (instruções passo a passo que dá pra fazer rápido na prova).
Desenhe um sistema de eixos x, y (horizontal) e z (vertical). Marque o ponto (0,0,3) sobre o eixo z como o vértice superior.
No plano z=2 desenhe um círculo de raio 1 centrado na projeção (0,0). No plano z=0 desenhe o círculo de raio \sqrt{3}. No plano z=-1 desenhe o círculo de raio 2. Essas circunferências são as curvas de nível (use poucas, ex.: z=2,1,0,-1).
Una suavemente essas circunferências por uma superfície lisa e simétrica, formando uma “cúpula” voltada para baixo (como uma tigela invertida).
Para reforçar a forma, desenhe as parábolas das seções em y=0 e x=0: ambas passam pelo vértice e abrem para baixo.
Sombreie levemente ou trace linhas concêntricas no topo da cúpula para indicar que as curvas de nível são círculos concentrados no vértice.
Passo 9
Resumo conceitual rápido (o que memorizar para a prova)
f(x,y)=3-x^{2}-y^{2} é um paraboloide elíptico (aqui circular) voltado para baixo.
Vértice em (0,0,3).
Curvas de nível: x^{2}+y^{2}=3-z (círculos).
Domínio \mathbb{R}^{2}, imagem (-\infty,3].
Em coordenadas polares z=3-r^{2}, o que facilita visualizar a simetria radial.
Resposta
Superfície: paraboloide circular voltado para baixo com vértice em (0,0,3); curvas de nível x^{2}+y^{2}=3-z (círculos); interseção com z=0 é x^{2}+y^{2}=3; domínio \mathbb{R}^{2}, imagem (-\infty,3].