Esboçe o gráfico das funções a seguir:
f(x, y)=\sqrt{16-x^{2}-16 y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado me dá e o que ele pede:
  • Me dão a função de duas variáveis
f(x,y)=\sqrt{16-x^{2}-16y^{2}}.
  • O pedido é: esboçar o gráfico dessa função (ou seja, a superfície no espaço (x,y,z) definida por z=f(x,y)).
  • Informações relevantes já perceptíveis no enunciado:
    • A presença da raiz quadrada implica que o radicando precisa ser não negativo: 16-x^{2}-16y^{2}\ge0.
    • A função retorna apenas valores não negativos: z=\sqrt{\cdot}\ge0.
    • Quando o radicando for zero, z=0; quando o radicando é máximo, z atinge seu máximo.

Passo 2

Determinar o domínio (projeção no plano xy) explicando passo a passo:
  • O domínio é o conjunto de pontos (x,y) tais que o radicando é não negativo. Escrevo isso em forma matemática:
16-x^{2}-16y^{2}\ge0.
  • Isolo os termos:
x^{2}+16y^{2}\le16.
  • Dividindo ambos os lados por 16 para reconhecer a forma padrão:
\frac{x^{2}}{16}+y^{2}\le1.
  • Conclusão do domínio: é um disco elíptico (uma elipse preenchida) centrado na origem com semi-eixo em x igual a 4 e semi-eixo em y igual a 1. Em outras palavras, todos os pontos (x,y) com
\frac{x^{2}}{4^{2}}+ \frac{y^{2}}{1^{2}}\le1
estão no domínio.

Passo 3

Entender a superfície no espaço: transformar a equação para ver a forma geométrica conhecida.
  • Defina z=f(x,y). Então
z=\sqrt{16-x^{2}-16y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad z^{2}=16-x^{2}-16y^{2}.
  • Reescrevendo:
x^{2}+16y^{2}+z^{2}=16.
  • Dividindo por 16 para colocar na forma padrão:
\frac{x^{2}}{16}+y^{2}+\frac{z^{2}}{16}=1.
  • Interpretação: essa é a equação de um elipsóide centrado na origem com semieixos a_x=4 (direção x), a_y=1 (direção y) e a_z=4 (direção z). Porém, como originalmente z=\sqrt{\cdot} escolhe apenas a raiz positiva, a superfície que estamos desenhando é apenas a metade superior desse elipsóide, ou seja, a porção com z\ge0.

Passo 4

Pontos notáveis (interceptos e máximo) e o que eles significam para o esboço:
  • Valor máximo de z: ocorre no centro (0,0). Calculo
z(0,0)=\sqrt{16-0-0}=4.
Logo a superfície atinge altura máxima z=4 no ponto (0,0,4).
  • Intersecção com o plano z=0: ocorre quando o radicando é zero, isto é,
x^{2}+16y^{2}=16,
que é exatamente a fronteira elíptica do domínio no plano z=0. Portanto a superfície toca o plano z=0 ao longo dessa elipse de contorno (a “aresta” da base).
  • Não há pontos com z<0 na superfície porque a raiz é definida positiva.

Passo 5

Curvas de nível (contornos) — como usar para desenhar “fatias” horizontais:
  • Para um valor fixo z=c com 0\le c\le4, a interseção da superfície com o plano z=c satisfaz
c^{2}=16-x^{2}-16y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+16y^{2}=16-c^{2}.
  • Isso é uma elipse para cada c. À medida que c aumenta de 0 para 4, a elipse dada por x^{2}+16y^{2}=16-c^{2} encolhe continuamente até colapsar no ponto (0,0) quando c=4.
  • Exemplo numérico rápido para ajudar a visualizar: se c=2 então
x^{2}+16y^{2}=16-4=12,
ou seja, uma elipse menor que a base; se c=0 recupera-se a elipse base x^{2}+16y^{2}=16.

Passo 6

Seções por planos coordenados (fatias verticais) — ajudam a desenhar arcos no esboço:
  • Seção pela reta y=0 (plano y=0): substituindo y=0 obtemos
z=\sqrt{16-x^{2}},
que é uma semicircunferência (parte superior) de raio 4 no plano y=0 (ou seja, no plano xz). Isso dá um arco com extremidades (\pm4,0,0) e topo (0,0,4).
  • Seção pela reta x=0 (plano x=0): substituindo x=0 obtemos
z=\sqrt{16-16y^{2}}=4\sqrt{1-y^{2}},
que também é uma semicircunferência (após escala no eixo y): no plano x=0 a curva satisfaz
\left(\frac{z}{4}\right)^{2}+y^{2}=1,
ou seja, um semicírculo de raio 1 em y e raio 4 em z (visualize um arco mais “esticado” no sentido z comparado com y). As extremidades aqui são (0,\pm1,0) e o topo é (0,0,4).
  • Essas duas seções mostram que a superfície é redonda no sentido x (raio 4) e comprimida no sentido y (raio 1), o que é consistente com um elipsóide “achatado” na direção y.

Passo 7

Como montar o esboço passo a passo (procedimento prático para a prova, sem ferramentas):
  1. Desenhe os eixos: desenhe o plano xy visto de cima e o eixo z apontando para cima. Marque no eixo x os pontos \pm4 e no eixo y os pontos \pm1.
  2. Desenhe a elipse base no plano z=0 usando a equação
\frac{x^{2}}{16}+y^{2}=1,
isto é, uma elipse com semi-eixo 4 em x e 1 em y.
3. Marque o ponto superior (0,0,4).
4. Desenhe os arcos das seções em y=0 e x=0: no plano y=0 desenhe o semicírculo de raio 4 ligando ( -4,0,0) a (4,0,0) passando por (0,0,4); no plano x=0 desenhe o arco passando por (0,0,4) e ligando (0,-1,0) a (0,1,0).
5. Entre esses arcos, desenhe curvas lisas que ligam a elipse da base ao topo, seguindo as elipses de nível (contornos) mais interiores à medida que sobe. As linhas de contorno no plano xy serão elipses concêntricas que encolhem até o ponto central.
6. Sombreie ou trace mais linhas de contorno horizontais (elipses) para reforçar a sensação de volume: por exemplo para z=1,2,3 desenhe elipses proporcionais segundo x^{2}+16y^{2}=16-z^{2}.

Passo 8

Propriedades adicionais rápidas (úteis para entender o gráfico):
  • Superfície é suave (diferenciável) em todo o domínio interior porque a expressão sob a raiz é positiva ali; na fronteira do domínio a superfície atinge z=0 e a derivada normal fica verticalmente degenerada (a raiz chega a zero).
  • É simplesmente conectada e compacta (porque o domínio em xy é compacto e z é limitado entre 0 e 4).
  • Geometricamente: "metade superior de um elipsóide centrado na origem, com eixos 4,1,4".

Resposta

Metade superior do elipsóide \dfrac{x^{2}}{16}+y^{2}+\dfrac{z^{2}}{16}=1 com z\ge0; domínio no plano xy dado pela elipse \dfrac{x^{2}}{16}+y^{2}\le1, máximo z(0,0)=4 e interseção com z=0 na elipse \;x^{2}+16y^{2}=16\;.

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