Esboçe o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O que o enunciado me dá e o que ele pede:
- Me dão a função de duas variáveis
- O pedido é: esboçar o gráfico dessa função (ou seja, a superfície no espaço
definida por ). - Informações relevantes já perceptíveis no enunciado:
- A presença da raiz quadrada implica que o radicando precisa ser não negativo:
. - A função retorna apenas valores não negativos:
. - Quando o radicando for zero,
; quando o radicando é máximo, atinge seu máximo.
- A presença da raiz quadrada implica que o radicando precisa ser não negativo:
Passo 2
Determinar o domínio (projeção no plano
) explicando passo a passo:
- O domínio é o conjunto de pontos
tais que o radicando é não negativo. Escrevo isso em forma matemática:
- Isolo os termos:
- Dividindo ambos os lados por
para reconhecer a forma padrão:
- Conclusão do domínio: é um disco elíptico (uma elipse preenchida) centrado na origem com semi-eixo em
igual a e semi-eixo em igual a . Em outras palavras, todos os pontos com
estão no domínio.
Passo 3
Entender a superfície no espaço: transformar a equação para ver a forma geométrica conhecida.
- Defina
. Então
- Reescrevendo:
- Dividindo por
para colocar na forma padrão:
- Interpretação: essa é a equação de um elipsóide centrado na origem com semieixos
(direção ), (direção ) e (direção ). Porém, como originalmente escolhe apenas a raiz positiva, a superfície que estamos desenhando é apenas a metade superior desse elipsóide, ou seja, a porção com .
Passo 4
Pontos notáveis (interceptos e máximo) e o que eles significam para o esboço:
- Valor máximo de
: ocorre no centro . Calculo
Logo a superfície atinge altura máxima
no ponto
.
- Intersecção com o plano
: ocorre quando o radicando é zero, isto é,
que é exatamente a fronteira elíptica do domínio no plano
. Portanto a superfície toca o plano
ao longo dessa elipse de contorno (a “aresta” da base).
- Não há pontos com
na superfície porque a raiz é definida positiva.
Passo 5
Curvas de nível (contornos) — como usar para desenhar “fatias” horizontais:
- Para um valor fixo
com , a interseção da superfície com o plano satisfaz
- Isso é uma elipse para cada
. À medida que aumenta de para , a elipse dada por encolhe continuamente até colapsar no ponto quando . - Exemplo numérico rápido para ajudar a visualizar: se
então
ou seja, uma elipse menor que a base; se
recupera-se a elipse base
.
Passo 6
Seções por planos coordenados (fatias verticais) — ajudam a desenhar arcos no esboço:
- Seção pela reta
(plano ): substituindo obtemos
que é uma semicircunferência (parte superior) de raio
no plano
(ou seja, no plano
). Isso dá um arco com extremidades
e topo
.
- Seção pela reta
(plano ): substituindo obtemos
que também é uma semicircunferência (após escala no eixo
): no plano
a curva satisfaz
ou seja, um semicírculo de raio
em
e raio
em
(visualize um arco mais “esticado” no sentido
comparado com
). As extremidades aqui são
e o topo é
.
- Essas duas seções mostram que a superfície é redonda no sentido
(raio 4) e comprimida no sentido (raio 1), o que é consistente com um elipsóide “achatado” na direção .
Passo 7
Como montar o esboço passo a passo (procedimento prático para a prova, sem ferramentas):
- Desenhe os eixos: desenhe o plano
visto de cima e o eixo apontando para cima. Marque no eixo os pontos e no eixo os pontos . - Desenhe a elipse base no plano
usando a equação
isto é, uma elipse com semi-eixo
em
e
em
.
3. Marque o ponto superior .
4. Desenhe os arcos das seções em e
: no plano
desenhe o semicírculo de raio
ligando
a
passando por
; no plano
desenhe o arco passando por
e ligando
a
.
5. Entre esses arcos, desenhe curvas lisas que ligam a elipse da base ao topo, seguindo as elipses de nível (contornos) mais interiores à medida que sobe. As linhas de contorno no plano serão elipses concêntricas que encolhem até o ponto central.
6. Sombreie ou trace mais linhas de contorno horizontais (elipses) para reforçar a sensação de volume: por exemplo para desenhe elipses proporcionais segundo
.
3. Marque o ponto superior
4. Desenhe os arcos das seções em
5. Entre esses arcos, desenhe curvas lisas que ligam a elipse da base ao topo, seguindo as elipses de nível (contornos) mais interiores à medida que sobe. As linhas de contorno no plano
6. Sombreie ou trace mais linhas de contorno horizontais (elipses) para reforçar a sensação de volume: por exemplo para
Passo 8
Propriedades adicionais rápidas (úteis para entender o gráfico):
- Superfície é suave (diferenciável) em todo o domínio interior porque a expressão sob a raiz é positiva ali; na fronteira do domínio a superfície atinge
e a derivada normal fica verticalmente degenerada (a raiz chega a zero). - É simplesmente conectada e compacta (porque o domínio em
é compacto e é limitado entre e ). - Geometricamente: "metade superior de um elipsóide centrado na origem, com eixos
".
Resposta
Metade superior do elipsóide
com
; domínio no plano
dado pela elipse
, máximo
e interseção com
na elipse