Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a função f e pede três coisas:
  • A função dada é f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.
  • Pedidos:
    1. Encontrar o domínio de f.
    2. Encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis de f).
    3. Descrever as curvas de nível (conjuntos \{(x,y):f(x,y)=c\} para constantes c).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão do radicando é 9-x^{2}-y^{2}.
  • A presença da raiz quadrada implica que só podemos ter argumentos não-negativos: o radicando precisa satisfazer uma desigualdade do tipo "algo \ge 0".

Passo 2

Determinar o domínio usando a condição de existência da raiz quadrada.
A raiz quadrada real \sqrt{\cdot} está definida apenas quando o argumento é maior ou igual a zero. Portanto exigimos
9-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Rearranjando,
x^{2}+y^{2}\le 9.
Isso significa que o domínio é o disco fechado de raio 3 centrado na origem no plano (x,y). Escrevendo em notação de conjuntos:
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
Uma forma alternativa, útil para cálculo e intuição, é usar coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Nessas coordenadas a condição fica
r^{2}\le 9\quad\Rightarrow\quad 0\le r\le 3,\quad 0\le\theta<2\pi.
Comentário prático: o domínio inclui a borda x^{2}+y^{2}=9 porque aí o radicando é zero e \sqrt{0}=0 é bem definido.

Passo 3

Determinar a imagem (range) de f.
Primeiro observação importante: a função raiz produz sempre valores não-negativos, logo qualquer valor de f satisfaz
f(x,y)\ge 0.
Agora buscamos os valores máximo e mínimo possíveis de f sobre o domínio encontrado.
  • Máximo: ocorre quando o radicando 9-x^{2}-y^{2} é máximo. Dentro do disco fechado x^{2}+y^{2}\le 9 o máximo do radicando é alcançado em (x,y)=(0,0), onde 9-x^{2}-y^{2}=9. Então
\max f = \sqrt{9}=3.
  • Mínimo: o menor valor da raiz será quando o radicando é mínimo no domínio. O menor radicando possível é 0, atingido na borda x^{2}+y^{2}=9. Assim
\min f = \sqrt{0}=0.
Como a raiz é contínua e o domínio é conectado, todos os valores entre 0 e 3 são atingidos. Portanto a imagem é o intervalo
\text{Im}(f)=[0,3].
Uma verificação alternativa e intuitiva em coordenadas polares: f(r,\theta)=\sqrt{9-r^{2}} com 0\le r\le 3. À medida que r varia de 0 a 3, \sqrt{9-r^{2}} varia continuamente de 3 a 0, cobrindo exatamente o intervalo [0,3].

Passo 4

Descrever as curvas de nível (contornos) de f.
Seja c um número real. A curva de nível de nível c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
Substituindo f,
\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}=c.
Para resolver, elevamos ao quadrado (lembrando que isso exige cuidado com sinais, mas aqui a raiz dá sempre não-negativo):
9-x^{2}-y^{2}=c^{2}.
Rearranjando,
x^{2}+y^{2}=9-c^{2}.
Agora precisamos considerar para quais c essa equação realmente descreve pontos do domínio.
  • Como vimos na imagem, só são possíveis valores de c no intervalo [0,3]. Para c\notin[0,3] a curva de nível é vazia (nenhum ponto satisfaz f(x,y)=c).
  • Para c\in[0,3] a equação dá um círculo de raio
\rho\text{(c)}=\sqrt{9-c^{2}}.
Ou seja, para cada c\in(0,3) a curva de nível é o círculo centrado na origem de raio \sqrt{9-c^{2}}:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=9-c^{2}\}.
  • Caso especial c=0: \rho(0)=\sqrt{9}=3. A curva de nível f(x,y)=0 é o círculo de raio 3, isto é a borda do domínio.
  • Caso especial c=3: \rho(3)=\sqrt{9-9}=0. A curva de nível f(x,y)=3 é o ponto (0,0) (um círculo degenerado de raio zero).
Geometria/intuicão: pensando na superfície z=f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}, ela é a metade superior da esfera de raio 3 (hemisfério superior). As curvas de nível no plano (x,y) são as projeções horizontais das interseções dessa superfície com planos horizontais z=c — ou seja, círculos concêntricos com o centro na origem, cujo raio diminui quando c aumenta.
Exemplo numérico rápido: para c=2, a curva de nível é o círculo x^{2}+y^{2}=9-4=5, de raio \sqrt{5}.

Passo 5

Resumo didático curto para gravar na prova:
  • Domínio: disco fechado de raio 3: x^{2}+y^{2}\le 9.
  • Imagem: valores de f vão de 0 a 3: [0,3].
  • Curvas de nível: para c\in[0,3],
\{(x,y):f(x,y)=c\}=\{(x,y):x^{2}+y^{2}=9-c^{2}\},
ou seja, círculos centrados na origem de raio \sqrt{9-c^{2}} (com c=3 dando o ponto (0,0) e c=0 dando o círculo de raio 3). Para c\notin[0,3] não há curvas de nível (conjunto vazio).

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}
\text{Im}(f)=[0,3]
As curvas de nível são, para c\in[0,3], os círculos x^{2}+y^{2}=9-c^{2} (centro na origem, raio \sqrt{9-c^{2}}); para c\notin[0,3] não existem pontos de nível.

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