Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede três coisas:
- A função dada é
. - Pedidos:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis de
). - Descrever as curvas de nível (conjuntos
para constantes ).
- Encontrar o domínio de
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão do radicando é
. - A presença da raiz quadrada implica que só podemos ter argumentos não-negativos: o radicando precisa satisfazer uma desigualdade do tipo "algo
".
Passo 2
Determinar o domínio usando a condição de existência da raiz quadrada.
A raiz quadrada real
está definida apenas quando o argumento é maior ou igual a zero. Portanto exigimos
Rearranjando,
Isso significa que o domínio é o disco fechado de raio
centrado na origem no plano
. Escrevendo em notação de conjuntos:
Uma forma alternativa, útil para cálculo e intuição, é usar coordenadas polares
com
,
. Nessas coordenadas a condição fica
Comentário prático: o domínio inclui a borda
porque aí o radicando é zero e
é bem definido.
Passo 3
Determinar a imagem (range) de
.
Primeiro observação importante: a função raiz produz sempre valores não-negativos, logo qualquer valor de
satisfaz
Agora buscamos os valores máximo e mínimo possíveis de
sobre o domínio encontrado.
- Máximo: ocorre quando o radicando
é máximo. Dentro do disco fechado o máximo do radicando é alcançado em , onde . Então
- Mínimo: o menor valor da raiz será quando o radicando é mínimo no domínio. O menor radicando possível é
, atingido na borda . Assim
Como a raiz é contínua e o domínio é conectado, todos os valores entre
e
são atingidos. Portanto a imagem é o intervalo
Uma verificação alternativa e intuitiva em coordenadas polares:
com
. À medida que
varia de
a
,
varia continuamente de
a
, cobrindo exatamente o intervalo
.
Passo 4
Descrever as curvas de nível (contornos) de
.
Seja
um número real. A curva de nível de nível
é o conjunto de pontos
tais que
Substituindo
,
Para resolver, elevamos ao quadrado (lembrando que isso exige cuidado com sinais, mas aqui a raiz dá sempre não-negativo):
Rearranjando,
Agora precisamos considerar para quais
essa equação realmente descreve pontos do domínio.
-
Como vimos na imagem, só são possíveis valores de
no intervalo . Para a curva de nível é vazia (nenhum ponto satisfaz ). -
Para
a equação dá um círculo de raio
Ou seja, para cada
a curva de nível é o círculo centrado na origem de raio
:
- Caso especial
: . A curva de nível é o círculo de raio , isto é a borda do domínio. - Caso especial
: . A curva de nível é o ponto (um círculo degenerado de raio zero).
Geometria/intuicão: pensando na superfície
, ela é a metade superior da esfera de raio
(hemisfério superior). As curvas de nível no plano
são as projeções horizontais das interseções dessa superfície com planos horizontais
— ou seja, círculos concêntricos com o centro na origem, cujo raio diminui quando
aumenta.
Exemplo numérico rápido: para
, a curva de nível é o círculo
, de raio
.
Passo 5
Resumo didático curto para gravar na prova:
- Domínio: disco fechado de raio
: . - Imagem: valores de
vão de a : . - Curvas de nível: para
,
ou seja, círculos centrados na origem de raio
(com
dando o ponto
e
dando o círculo de raio
). Para
não há curvas de nível (conjunto vazio).
Resposta
As curvas de nível são, para