Questão 5. Quantas são as soluções inteiras não negativas da equação x+y+z=8 ?

Passo 1

O enunciado pede quantas soluções inteiras não negativas (x,y,z) satisfazem
x + y + z = 8.
O conteúdo aqui é contagem de soluções inteiras não negativas de uma soma fixa, que se resolve com o princípio de “estrelas e barras”.

Passo 2

A ideia de “estrelas e barras” é modelar as 8 unidades como 8 estrelas e usar 2 barras para separar as variáveis x, y e z. Qualquer arranjo de 8 estrelas e 2 barras corresponde a uma solução única, e ao todo há
\binom{8 + 3 - 1}{3 - 1}
maneiras de escolher as posições das barras entre estrelas.

Passo 3

Aqui n = 8 (número de estrelas) e k = 3 (número de variáveis), logo
\binom{8 + 3 - 1}{3 - 1} \;=\;\binom{10}{2} \;=\;\frac{10\cdot9}{2\cdot1} \;=\;45.

Resposta

45

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