Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da hipérbole e traçar as assíntotas para a equação dada. As informações que temos são:
- A equação da curva é
- A tarefa é desenhar (esboçar) a hipérbole e indicar as assíntotas.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole centrada na origem. Para isso divido ambos os lados por
:
Simplificando os coeficientes:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole do tipo
. Anotei isso porque a partir daqui extraímos os parâmetros importantes.
Passo 3
Identificar os parâmetros e pontos notáveis a partir da forma padrão:
- Centro:
— porque não há termos lineares em ou . - No formato
temos e . - Então
- Vértices (os pontos onde a hipérbole cruza o eixo transverse):
, ou seja . - Co-vértices (pontos do retângulo auxiliar sobre o eixo conjugado):
, ou seja .
Explicando com calma: em uma hipérbole centrada na origem com sinal positivo no termo de
, as duas “folhas” abrem para a direita e para a esquerda (e não para cima/baixo). Os parâmetros
e
definem um “retângulo guia” cujos vértices são
; as diagonais desse retângulo são as assíntotas.
Passo 4
Achar as assíntotas. Para a hipérbole
as assíntotas são as retas
Aqui
. Portanto as assíntotas são
Se quiser ver por que isso acontece: para
grande, divide-se a equação original por
e obtém-se
, de onde
.
Passo 5
Calcular outros elementos úteis (úteis para o esboço e para entender a forma):
- Distância focal
satisfaz . Aqui
- Focos:
. - Excentricidade:
.
Não é obrigatório desenhar os focos para o enunciado, mas é bom saber o quão “esticada” a hipérbole é.
Passo 6
Expressão para
explícita (para traçar pontos): a partir de
isolamento
:
Observação importante para o esboço: o radicando deve ser não negativo, então existe
real somente para
. Isso confirma que as folhas começam em
e se estendem para
, aproximando-se das assíntotas.
Passo 7
Escolher alguns pontos para guiar o desenho (faça na prova para ter pontos a marcar). Cálculos rápidos:
- Em
(vértice): . - Em
:
- Em
:
Esses pontos mostram a curvatura: em
estamos em zero; em
já estamos em
; em
em
. À medida que
aumenta,
tende para
.
Passo 8
Como esboçar passo a passo (receita prática na prova — faça isso no papel):
- Desenhe os eixos coordenados e marque o centro
. - Marque os vértices
. - Marque os co-vértices
e desenhe o retângulo com cantos . - Trace as diagonais do retângulo: essas diagonais são as assíntotas
. - A partir dos vértices, desenhe duas folhas que se abrem para a esquerda e direita, ficando cada vez mais próximas das assíntotas conforme se afastam do centro.
- Se quiser mais precisão, marque os pontos calculados em
e use-os para modelar a curva.
Dica de amigo: não precisa muitos pontos — o retângulo + vértices + assíntotas já dá um esboço muito convincente em prova.
Resposta
Centro:
Vértices:
Co-vértices:
Vértices:
Co-vértices:
Assíntotas:
Focos: