Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
8 x^{2}-9 y^{2}=72

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da hipérbole e traçar as assíntotas para a equação dada. As informações que temos são:
  • A equação da curva é 8x^{2}-9y^{2}=72.
  • A tarefa é desenhar (esboçar) a hipérbole e indicar as assíntotas.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole centrada na origem. Para isso divido ambos os lados por \,72:
\frac{8x^{2}}{72}-\frac{9y^{2}}{72}=1.
Simplificando os coeficientes:
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{8}=1.
Essa é a forma padrão de uma hipérbole do tipo \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1. Anotei isso porque a partir daqui extraímos os parâmetros importantes.

Passo 3

Identificar os parâmetros e pontos notáveis a partir da forma padrão:
  • Centro: (0,0) — porque não há termos lineares em x ou y.
  • No formato \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 temos \,a^{2}=9 e \,b^{2}=8.
  • Então a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • Vértices (os pontos onde a hipérbole cruza o eixo transverse): (\pm a,0), ou seja (\pm 3,0).
  • Co-vértices (pontos do retângulo auxiliar sobre o eixo conjugado): (0,\pm b), ou seja \left(0,\pm 2\sqrt{2}\right).
Explicando com calma: em uma hipérbole centrada na origem com sinal positivo no termo de x^{2}, as duas “folhas” abrem para a direita e para a esquerda (e não para cima/baixo). Os parâmetros a e b definem um “retângulo guia” cujos vértices são (\pm a,\pm b); as diagonais desse retângulo são as assíntotas.

Passo 4

Achar as assíntotas. Para a hipérbole \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são as retas
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Aqui \dfrac{b}{a}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}. Portanto as assíntotas são
y=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}\,x.
Se quiser ver por que isso acontece: para |x| grande, divide-se a equação original por x^{2} e obtém-se \,8-9\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}\approx 0, de onde \dfrac{y}{x}\to\pm\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

Calcular outros elementos úteis (úteis para o esboço e para entender a forma):
  • Distância focal c satisfaz \,c^{2}=a^{2}+b^{2}. Aqui
c^{2}=9+8=17,\qquad c=\sqrt{17}\approx 4{,}123.
  • Focos: (\pm c,0)=\left(\pm\sqrt{17},0\right).
  • Excentricidade: e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{17}}{3}\approx 1{,}374.
Não é obrigatório desenhar os focos para o enunciado, mas é bom saber o quão “esticada” a hipérbole é.

Passo 6

Expressão para y explícita (para traçar pontos): a partir de \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{8}=1 isolamento y:
\frac{y^{2}}{8}=\frac{x^{2}}{9}-1 \quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{8\left(\frac{x^{2}}{9}-1\right)}=\pm\frac{1}{3}\sqrt{8x^{2}-72}.
Observação importante para o esboço: o radicando deve ser não negativo, então existe y real somente para |x|\ge a=3. Isso confirma que as folhas começam em (\pm 3,0) e se estendem para |x|\to\infty, aproximando-se das assíntotas.

Passo 7

Escolher alguns pontos para guiar o desenho (faça na prova para ter pontos a marcar). Cálculos rápidos:
  • Em x=3 (vértice): \,y=0.
  • Em x=4:
y=\pm\frac{1}{3}\sqrt{8\cdot 4^{2}-72}=\pm\frac{1}{3}\sqrt{128-72}=\pm\frac{1}{3}\sqrt{56}=\pm\frac{2\sqrt{14}}{3}\approx\pm 2{,}49.
  • Em x=5:
y=\pm\frac{1}{3}\sqrt{8\cdot 25-72}=\pm\frac{1}{3}\sqrt{200-72}=\pm\frac{1}{3}\sqrt{128}=\pm\frac{8\sqrt{2}}{3}\approx\pm 3{,}77.
Esses pontos mostram a curvatura: em x=3 estamos em zero; em x=4 já estamos em y\approx\pm 2{,}5; em x=5 em y\approx\pm 3{,}8. À medida que x aumenta, \dfrac{y}{x} tende para \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 8

Como esboçar passo a passo (receita prática na prova — faça isso no papel):
  1. Desenhe os eixos coordenados e marque o centro (0,0).
  2. Marque os vértices (\pm 3,0).
  3. Marque os co-vértices \left(0,\pm 2\sqrt{2}\right) e desenhe o retângulo com cantos (\pm 3,\pm 2\sqrt{2}).
  4. Trace as diagonais do retângulo: essas diagonais são as assíntotas y=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}x.
  5. A partir dos vértices, desenhe duas folhas que se abrem para a esquerda e direita, ficando cada vez mais próximas das assíntotas conforme se afastam do centro.
  6. Se quiser mais precisão, marque os pontos calculados em x=4,5 e use-os para modelar a curva.
Dica de amigo: não precisa muitos pontos — o retângulo + vértices + assíntotas já dá um esboço muito convincente em prova.

Resposta

\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{8}=1
Centro: (0,0)
Vértices: (\pm 3,0)
Co-vértices: \left(0,\pm 2\sqrt{2}\right)
Assíntotas: y=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}\,x
Focos: \left(\pm\sqrt{17},0\right)

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