Esboce o gráfico de F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) dt, onde
f(t)=\left\{\begin{array}{lll}t & \text { se } & -1 \leq t \leq 1 \\\\ 0 & \text { se } & |t|>1\end{array} \quad\right..

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função de acumulação
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt
onde
f(t)= \begin{cases} t,&\text{se }-1\le t\le1,\\\\ 0,&\text{se }|t|>1. \end{cases}
O conteúdo é função definida por integral imprópria e cálculo de integrals de pedaços. Vamos encontrar F(x) em cada região de x e depois esboçar.

Passo 2

Para x< -1, todo o intervalo de integração (-\infty,x] está em t<-1, onde f(t)=0. Logo
F(x)=\int_{-\infty}^{x}0\,dt=0.

Passo 3

Para -1\le x\le1, a integral se separa em parte onde f=0 e parte onde f(t)=t:
F(x)=\int_{-\infty}^{-1}0\,dt+\int_{-1}^{x}t\,dt =\int_{-1}^{x}t\,dt.
Calculando essa integral:
\int_{-1}^{x}t\,dt=\left.\frac{t^2}{2}\right|_{t=-1}^{t=x} =\frac{x^2}{2}-\frac{(-1)^2}{2} =\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}.

Passo 4

Para x>1, a acumulação já absorveu toda a área de -1 a 1. Como f é zero fora desse intervalo,
F(x)=\int_{-\infty}^{1}f(t)\,dt =\int_{-1}^{1}t\,dt=0
(pois a área positiva de t>0 cancela a negativa de t<0).

Passo 5

Reunindo:
F(x)= \begin{cases} 0,&x< -1,\\\ \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2},&-1\le x\le1,\\\\ 0,&x>1. \end{cases}
No gráfico, F(x) é constante zero até x=-1, em seguida descreve uma parábola côncava para cima que atinge o mínimo \bigl(0,-\tfrac12\bigr) e volta a zero em x=1, e depois permanece zero.

Resposta

F(x)= \begin{cases} 0,&x< -1,\\\ \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2},&-1\le x\le1,\\\\ 0,&x>1. \end{cases}
Esboço: constante zero até x=-1, parábola entre -1 e 1 com vértice em (0,-\tfrac12), e depois constante zero.

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