Pré-Cálculo, Francisco Magalhães Gomes Verifique algebricamente se as equações a seguir permitem a definição da variável y como uma função da variável x.
x^{2}+y^{2}-19=0

Passo 1

O enunciado dá a curva definida pela equação
x^{2} + y^{2} - 19 = 0
e pede para verificarmos algebricamente se podemos definir y como função de x. O conteúdo aqui é solução de equação implícita e teste de existência de função única.

Passo 2

Isolando y^{2} na equação, obtemos
y^{2} = 19 - x^{2}.

Passo 3

Extraindo a raiz quadrada, vem
y = \pm \sqrt{\,19 - x^{2}\,},
com a condição de existência da raiz real:
19 - x^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{19} \,\le\, x \,\le\, \sqrt{19}.

Passo 4

Para cada x em \bigl[-\sqrt{19},\sqrt{19}\bigr] (exceto nas extremidades), há dois valores de y. Logo, não existe uma única função y = f(x) cobrindo todo o domínio; existem duas funções-ramo:
y_{1}(x) = \sqrt{19 - x^{2}} \quad\text{e}\quad y_{2}(x) = -\sqrt{19 - x^{2}}.

Passo 5

Pelo Teorema da Função Implícita, definindo
F(x,y) = x^{2} + y^{2} - 19,
temos
\partial F/\partial y = 2y, que só é nulo quando y=0. Portanto, em qualquer ponto da curva com y\neq0 podemos resolver localmente para uma das ramas y_{1} ou y_{2}, mas não globalmente para uma única função.

Resposta

Não é possível definir uma única função y=f(x) para toda a curva; em vez disso, há duas soluções
y = \sqrt{19 - x^{2}} \quad\text{e}\quad y = -\sqrt{19 - x^{2}},
com x\in[-\sqrt{19},\sqrt{19}].

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