Pré-Cálculo, Francisco Magalhães Gomes Verifique algebricamente se as equações a seguir permitem a definição da variável
como uma função da variável
.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida pela equação
e pede para verificarmos algebricamente se podemos definir
como função de
. O conteúdo aqui é solução de equação implícita e teste de existência de função única.
Passo 2
Isolando
na equação, obtemos
Passo 3
Extraindo a raiz quadrada, vem
com a condição de existência da raiz real:
Passo 4
Para cada
em
(exceto nas extremidades), há dois valores de
. Logo, não existe uma única função
cobrindo todo o domínio; existem duas funções-ramo:
Passo 5
Pelo Teorema da Função Implícita, definindo
temos
, que só é nulo quando
. Portanto, em qualquer ponto da curva com
podemos resolver localmente para uma das ramas
ou
, mas não globalmente para uma única função.
Resposta
Não é possível definir uma única função
para toda a curva; em vez disso, há duas soluções
com
.