Utilizando as técnicas de integração que aprendemos, resolva as integrais.
\int \sin 2 x \cos ^{2} 2 x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin 2x \,\cos^{2}2x \,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas envolvendo potências de seno e cosseno. Uma estratégia eficiente é usar substituição, observando que a derivada de \cos2x é proporcional a \sin2x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos2x.
Então
\frac{du}{dx} = -2\sin2x \quad\Longrightarrow\quad \sin2x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
\int \sin2x\;\cos^{2}2x\;dx = \int u^{2}\,\bigl(\sin2x\,dx\bigr) = \int u^{2}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) = -\tfrac12 \int u^{2}\,du.
Agora integramos:
-\tfrac12 \int u^{2}\,du = -\tfrac12 \cdot \frac{u^{3}}{3} + C = -\frac{u^{3}}{6} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u=\cos 2x. Logo a antiderivada é
-\frac{(\cos 2x)^{3}}{6} + C.

Resposta

\int \sin 2x \,\cos^{2}2x \,dx = -\frac{\cos^{3}2x}{6} + C.

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