Exercício 4.8.1. Seja F: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear que, com respeito às bases canônicas \mathcal{B}_{3} e \mathcal{B}_{4} de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{4}, possui matriz representativa
M_{F}^{\mathcal{B}_{4}, \mathcal{B}_{3}}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 2 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a contra-imagem do vetor ( 3,2,0 ), mostrando que esta é composta pelas somas de um vetor particular com vetores de \operatorname{Ker} F.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear F:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz na base canônica é
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Queremos encontrar \ker F e \operatorname{Im}F (dimensões e bases) e descrever a contra-imagem de (3,2,0) como soma de uma solução particular com vetores de \ker F.
Conteúdo: núcleo e imagem de transformações lineares, solução de sistemas lineares.

Passo 2

Para obter \operatorname{Im}F observamos as colunas de M. As colunas são
\mathbf{c}_1=(1,0,0), \mathbf{c}_2=(1,2,0), \mathbf{c}_3=(2,2,0), \mathbf{c}_4=(0,-2,0).
Verificamos quais são linearmente independentes. Note que \mathbf{c}_3=\mathbf{c}_1+\mathbf{c}_2 e \mathbf{c}_4=-1\cdot(\mathbf{c}_2-\mathbf{c}_1). Logo basta \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2.

Passo 3

Assim
\operatorname{Im}F = \mathrm{span}\{\,(1,0,0),\,(1,2,0)\},
tem dimensão 2 e base \{(1,0,0),\,(1,2,0)\}.

Passo 4

Para \ker F\) resolvemos \(M\,x=0\). Escrevendo \(x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\), o sistema é \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}+2x_{3}=0,\\\\ 2x_{2}+2x_{3}-2x_{4}=0,\\\\ 0=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x_{2}+x_{3}-x_{4}=0\], ou \(x_{2}=x_{4}-x_{3}. Substituindo na primeira:
x_{1}+(x_{4}-x_{3})+2x_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = -x_{4}-x_{3}.

Passo 5

Parametrizamos em termos de x_{3}=s, x_{4}=t. Assim
x = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (-s-t,\;t-s,\;s,\;t) = s\,(-1,-1,1,0) + t\,(-1,1,0,1).
Portanto
\ker F = \mathrm{span}\{\,(-1,-1,1,0),\;(-1,1,0,1)\},
com dimensão 2.

Passo 6

Para encontrar uma solução particular de F(x)=(3,2,0)\) resolvemos o sistema \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}+2x_{3}=3,\\\\ 2x_{2}+2x_{3}-2x_{4}=2. \end{cases}
Podemos escolher x_{3}=0\], \[x_{4}=0. Então o sistema reduz a
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=3,\\\\ 2x_{2}=2. \end{cases}
Da segunda equação x_{2}=1\] e da primeira \(x_{1}=2. Uma solução particular é
x_{0} = (2,1,0,0).

Passo 7

A contra-imagem de (3,2,0) é o conjunto de todas as soluções
x = x_{0} + v,\quad v\in\ker F.
Como \ker F=\mathrm{span}\{\,(-1,-1,1,0),\,(-1,1,0,1)\}, a contra-imagem é
\{(2,1,0,0) + s\,(-1,-1,1,0) + t\,(-1,1,0,1)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

\ker F = \mathrm{span}\{(-1,-1,1,0),\,(-1,1,0,1)\}, \dim\ker F=2.
\operatorname{Im}F = \mathrm{span}\{(1,0,0),\,(1,2,0)\}, \dim\operatorname{Im}F=2.
A contra-imagem de (3,2,0) é
\{(2,1,0,0) + s\,(-1,-1,1,0) + t\,(-1,1,0,1)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

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