Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=cossec(x+pi4).

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
y = csc!l(x + tfracpi4r)
O conteúdo é transformação de funções trigonométricas: lembramos que csc x = 1/sin x e que a soma x + tfracpi4 gera uma translação horizontal de tfracpi4 para a esquerda. Vamos usar o gráfico de sin x, passar para csc x e depois deslocar.

Passo 2

Escrevendo
y = 1sinl(x + tfracpi4r),
vemos que onde sin(x + tfracpi4)=0 surgem assimptotas verticais no gráfico de y.

Passo 3

As raízes de
sinl(x + tfracpi4r)=0
são
x + tfracpi4 = kpi Longrightarrow x = kpi - tfracpi4,
com kinZ. Assim, em cada reta vertical
x = kpi - tfracpi4
há uma assimptota.

Passo 4

Entre duas assimptotas consecutivas (distantes pi uma da outra) desenhamos um ramo de csc. Para ver seu formato e sinal, achamos onde sin(x+tfracpi4)=pm1.
Se
x+tfracpi4=pi2+2kpi Longrightarrow x = pi4 + 2kpi,
então sin=+1 e csc=+1.
Se
x+tfracpi4=3pi2+2kpi Longrightarrow x = 5pi4 + 2kpi,
então sin=-1 e csc=-1.

Passo 5

Em cada intervalo l(kpi-tfracpi4,,(k+1)pi-tfracpi4r):
– Se k é par, sin vai de 0 a 0 passando por +1, logo o ramo de csc fica positivo, tem valor mínimo +1 em x=tfracpi4+2kpi e tende a +infty nas bordas.
– Se k é ímpar, sin vai de 0 a 0 passando por – 1, logo o ramo de csc fica negativo, tem valor máximo – 1 em x=tfrac5pi4+2kpi e tende a -infty nas bordas.

Passo 6

Como o período de sin é 2pi, o padrão de ramos e assimptotas se repete a cada 2pi. Para esboçar basta desenhar:
– Assimptotas verticais em x=kpi-tfracpi4.
– Entre elas, “copos” voltados para cima (quando k é par) ou para baixo (quando k é ímpar), tocando y=pm1 nos pontos encontrados.

Resposta

O gráfico de y=csc(x+tfracpi4) é exatamente o de y=csc x deslocado tfracpi4 para a esquerda, com assimptotas em
x = kpi - tfracpi4, kinZ,
e ramos periódicos que entre cada par de assimptotas aproximam-se a pminfty nas bordas e atingem y=+1 em x=tfracpi4+2kpi (ramos positivos) ou y=-1 em x=tfrac5pi4+2kpi (ramos negativos).

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