Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral.
Passo 1
O enunciado pede para fazer um esboço do sólido em
cujo volume é dado pela integral iterada
O conteúdo aqui é interpretar limites de integração como inequações que definem uma região no espaço e esboçar essa região.
Passo 2
Lemos os limites em ordem:
– .
– Para cada ,
.
– Para cada ,
.
Isso equivale ao sistema de inequações
–
– Para cada
– Para cada
Isso equivale ao sistema de inequações
isto é, a interseção do primeiro octante com o semiespaço abaixo do plano
.
Passo 3
Para entender a forma do sólido, achamos onde o plano
intercepta os eixos coordenados:
– No eixo (onde
) temos
, ponto
.
– No eixo (onde
) temos
, ponto
.
– No eixo (onde
) temos
, ponto
.
Junto com a origem , esses quatro pontos são os vértices do sólido.
– No eixo
– No eixo
– No eixo
Junto com a origem
Passo 4
O sólido é o tetraedro convexo cujas faces são:
- o triângulo no plano
dado por , ; - o triângulo no plano
dado por , ; - o triângulo no plano
dado por , ; - o triângulo oblíquo no plano
.
Para esboçar, desenhe três eixos ortogonais, marque os pontos, , e a origem, e ligue-os formando um tetraedro.
Resposta
O sólido é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano
, com vértices em
O esboço consiste em três eixos
,
,
; sobre cada eixo o ponto “2”; e as arestas unindo esses pontos e a origem, formando um tetraedro.