Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral.
integral0^2 integral0^2-y integral0^2-x-y d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para fazer um esboço do sólido em R^3 cujo volume é dado pela integral iterada
integral0^2!integral0^2-y!integral0^2-x-ydz,dx,dy
O conteúdo aqui é interpretar limites de integração como inequações que definem uma região no espaço e esboçar essa região.

Passo 2

Lemos os limites em ordem:
0<= y<= 2.
– Para cada y, 0<= x<= 2-y.
– Para cada (x,y), 0<= z<= 2-x-y.
Isso equivale ao sistema de inequações
x>=0, y>=0, z>=0, x+y+z<=2,
isto é, a interseção do primeiro octante com o semiespaço abaixo do plano x+y+z=2.

Passo 3

Para entender a forma do sólido, achamos onde o plano x+y+z=2 intercepta os eixos coordenados:
– No eixo x (onde y=0,z=0) temos x=2, ponto (2,0,0).
– No eixo y (onde x=0,z=0) temos y=2, ponto (0,2,0).
– No eixo z (onde x=0,y=0) temos z=2, ponto (0,0,2).
Junto com a origem (0,0,0), esses quatro pontos são os vértices do sólido.

Passo 4

O sólido é o tetraedro convexo cujas faces são:
  1. o triângulo no plano xy dado por z=0, x+y<=2;
  2. o triângulo no plano xz dado por y=0, x+z<=2;
  3. o triângulo no plano yz dado por x=0, y+z<=2;
  4. o triângulo oblíquo no plano x+y+z=2.
    Para esboçar, desenhe três eixos ortogonais, marque os pontos (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2) e a origem, e ligue-os formando um tetraedro.

Resposta

O sólido é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano ,x+y+z=2, com vértices em
(0,0,0),;(2,0,0),;(0,2,0),;(0,0,2)
O esboço consiste em três eixos x, y, z; sobre cada eixo o ponto “2”; e as arestas unindo esses pontos e a origem, formando um tetraedro.

Exercícios relacionados