Esboce o gráfico das seguintes funções
y=tg x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de y=tgx, ou seja, de y=tan x. Trata-se de estudar a função trigonométrica tangente: primeiro identificar domínio, assíntotas, zeros e periodicidade; depois usar essas informações para desenhar a curva.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais. A tangente é definida sempre que o cosseno não se anula, isto é,
cos x neq 0
Logo o domínio é
xinRsetminusltfracpi2+kpimid kinZr
Em cada ponto
x=pi2+kpi
há uma assíntota vertical onde ytopminfty.

Passo 3

Achar zeros, sinal, monotonicidade e periodicidade.
1. Zeros: tan x=0 quando sin x=0, portanto
x=kpi, kinZ
2. Sinal e monotonicidade: em cada intervalo aberto entre duas assíntotas
l(-tfracpi2+kpi,;tfracpi2+kpir),
a função é contínua e estritamente crescente, variando de -infty (no limite esquerdo) até +infty (no limite direito).
3. Periodicidade: tan x tem período pi, isto é,
tan(x+pi)=tan x

Passo 4

Esboçar um período típico, por exemplo em l(-tfracpi2,tfracpi2r):
  • Marque a assíntota vertical em x=pmtfracpi2.
  • No centro, em x=0, a curva passa por (0,0).
  • À medida que xtotfracpi2^-, yto+infty; e quando xto-tfracpi2^+, yto-infty.
  • Ligue esses pontos com uma curva suave e crescente.
    Depois, repita esse padrão deslocado de pi para a direita e para a esquerda, respeitando as assíntotas em x=pi2+kpi.

Resposta

O gráfico de y=tgx (ou y=tan x) é uma curva periódica de período pi, com
bul<=t zeros em x=kpi,
bul<=t assíntotas verticais em x=pi2+kpi,
bul<=t em cada intervalo l(-tfracpi2+kpi,tfracpi2+kpir) é contínua e estritamente crescente de -infty a +infty.
Basta esboçar um arco passando por (0,0), indo de -infty a +infty entre x=-tfracpi2 e x=+tfracpi2, e então repetir esse padrão a cada comprimento pi.

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