Seja f(x)=ccc2 x-2, & se & x<-1 A x+B, & se & -1 <= x <= 1 5 x+7, & se & x>1
Determinar A e B tal que f seja uma função contínua para todo x in R.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= 2x-2, & x<-1, Ax+B, & -1<= x<=1, 5x+7, & x>1,
e pede A e B tais que f seja contínua em todo R. Para isso precisamos garantir continuidade nos pontos de quebra x=-1 e x=1, isto é, fazer coincidir o valor de cada ramo nesses pontos.

Passo 2

Em x=-1, a continuidade exige
f(-1^-)=f(-1)=f(-1^+)
Calculamos primeiro o limite à esquerda:
f(-1^-)=2(-1)-2=-4
No ramo do meio, em x=-1 vale
f(-1)=A(-1)+B=-A+B
Logo a condição em x=-1 é
-A + B = -4

Passo 3

Em x=1, exigimos
f(1^-)=f(1)=f(1^+)
No ramo do meio, em x=1 vale
f(1^-)=Acdot1+B=A+B
O limite à direita é
f(1^+)=5cdot1+7=12
Logo a condição em x=1 é
A + B = 12

Passo 4

Resolvendo o sistema
-A + B = -4, A + B = 12,
somamos as duas equações:
2B = 8Longrightarrow B = 4
Substituindo em A + B = 12
A + 4 =12Longrightarrow A = 8

Resposta

A=8, B=4.

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